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 e dopo qucBlc sosliluziouì , fatte le operazioni indicate nel primo membro dell' e- 

 quazione, ed avuto rignardo ai valori di h' , A' , scritti nel n°. precedente , potre- 

 mo dare al risultato la forma 



•òb'h' \Jp\l + ■ia'k'yjq'p = a'i'c* — h^p — k^q , (11) 



la quale ci mostra ridoni defllnitivaraente a due i radicali cubici da eliminarsi . Ma 

 anche dopo ciò si sente il bisogno di nuove sostituzioni per evitar la comparsa di 

 espressioni che inutilmente sarebbero lunghissime . Noi dunque porremo le quau- 

 tità costanti 



2b'h' = A , 3o*/c' = B , 

 « le quantità variabili 



p'q=zu , qy = v , à'b'c'' — h''p — k'^q^t, ? 



con che 1' equazione precedente si muterà nella semplicissima 



che può considerarsi come la più generale equazione algebrica affetta da due ra- 

 dicali cubici . Elevandone i membri a cubo, si ha da princìpio 



A'm-H 3A'B y/u'v + 3AW\/uv' + B'v = l' ; 

 ma questo risultato polendosi scrivere sotto la forma 



A'u + 3Ar. \/uv ( AV« + P-V^ ) + B'r = (' , 

 si riduce bentosto , in virtù dell' equazione (12) all' altra 



k\i -j-3 AB/ V«y + B't, = <' , (13) 



la quale , isolato nel primo membro il termine affetto dal radicale , e poscia eleva- 

 ta di nuovo a cubo , dà finalmente 



27\'iih'uv = ( t' — A'« — B't;)'. (14) 



Questa equazione è del nono grado allorquando < , w , t» suppongonsi essere del pri- 

 mo grado ; e non va oltre del terzo grado quando il secondo membro dell' equazio- 

 ne (12) è quantità nota . Ma nel caso nostro non è quest' ultima la equazione di 

 che ci fa bisogno , s'i bene la precedente (13) ; poiché rimettendo in luogo di u e v 



1 lor valori in p ^ q , il radicale \Juv di che vedesi affetta 1' equazione (13) si ri- 

 duce sponlanramcnte al monomio razionale ;> (^ , onde questa medesima equazione, 

 con rimettere anche per t la sua espressione in p e q, ci offre senza più la trasfor- 

 mata razionale dell' equazione (11) , libera da radicali ed espressa in a , b , e , 

 /i . A , A , B , p , 9, 



AYq + B'q^p 4- 3 AB/»<^ {a'b'c^ — h^p — k^q) = {a'b'c'' — hy — k^q y. 

 Ricordandoci ora di aver posto i'a' = ;j , ed a'/3' r= q , quest' ultima equazio- 

 De , anche prima di reslituiic a p e q i notati valori in « e /3 , ci lascia evidente- 



