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e quindi ÙL= ^'^'f «'^' + ^V ) - 2( .■ +^0 ( .V 4- ^^Q ^ ^^^ 



Dividendo ora (4) per (5) abbiamo 



a'6'( a'x' + Z,'_y' ) — 2( x' + f ) ( aia» + ùy ) ' ^^^ 



e senza più , scambiando tra loro le Ictlerc x , y , non che le altre a , b, ab- 

 biamo ancora 



(7) 



a'b\ a'x' -)- i'/" ) — •i(x' +/' ) ( aU-" + b^ ) ' 

 »j 3°. Son queste le espressioni delle coordinate della evoluta in funzioni di 

 quelle della curva primitiva. 11 sig. Torlolioi che trasforma ( siccome di sopra ab- 

 biam detto ) 1' equazione di questa curva in coordinate polari , trova per « , /3 due 

 funzioni irrazionali del raggio vettore . Egli ci dà solo i risullamenti senza indi- 

 care la via tenuta nel farn» ricerca, e che forse sarà stata più lunga, o più mala- 

 gevole della nostra . 



» Eccoci intanto al punto della difììcoltà . Trattasi di eliminare x y dalle 

 tre equazioni (1) , (G) , (7) che legano insieme le quattro variabili x , j , « , j3 ; 

 e tali equazioni essendo tulle di Ii° grado per rapporto ad a:, y , il risultato , 

 stando alle regole generali , si annunzia di grado assai alto , e di malagevole ri- 

 certa . Noi intanto vedremo che sotto amendue i rapporti la cosa procede altri- 

 menti . Rendiamo prima un poco più semplici 1' espressioni di a , e di /3 , sostituea- 

 do ( a;' -}- j' )' ad a'o;' + /«'j' nel loro denominator comune, e per brevità po- 

 nendo 2a' — b' = h" , 2b' — a' = A". 

 Avremo così le equazioni 



* == 



(x. +y ) ( u'h'x' + o-ky ) ' 



(8) 



b>( ò' — a^ )/ 



(*'+r) ( « A'.r- + i'A-r ) ' ^ ^ 



che SODO da reputarsi abbastanza semplici ove si pensi che 1" equazione tra x , y '<i 

 di 4° grado. Ciò nondimeno la eliminazione di .r , r non lascerebbe di essere ma- 

 lagevole , se due falli pailicolari non avesser luogo in virtù delle tre equazioni (1) , 

 (8) , (9) . Uno è che in virtù delle equazioni (8) e (0) i v;ilori di x , y si addimo- 

 strano proporzionali alle radici cubiche di « e di j3 , molliplicale per dati coeflì- 

 cienli ; 1' altro , che siamo in grado di procurarci una nuova equazione avente 

 per membri una funzione delle sole « , ^3 , ed una funzione omogenea e di grado 

 zero delie sole x, y. In fatti , se noi dividiamo e moltiplichiamo membro a membro 

 Jc due precedenti equazioni , esc nel secondo risultamenlo sosiiluiamo o'.i' -J- A'^ 



