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Alle precedenti equazioni due altre ne aggiungerò che serviranno a TÌcendc- 



Tolmente trasformarlo. Sostituendo in ( C ) il valore di ^ tratto da ( FJ ed 

 solando y cà x si avrà 



■u V V . u 



dv du 



Questi valori ài y , x serviranno, quando data 1' equazione differenziale 



Si voglia l'altra differenziale in u , t; . In fatti allora si avrà 



^ C dv' Tv ' ~ T>' = ° 



u — v-r V — il— 

 du du 



Spessissimo accade che nella ricerca dell' equazione di una curva , riesca di 

 esprimere una relazione tra le parti staccale sugli assi della tangente io ciascu- 

 no de" suoi punti . Allora si avrà immediatamente 1' equazione, F ( u , ^ ) = p 

 ed ecco come si potrà in tal caso ottenere 1' altra /" ( x , j ) = o . 



Differenziando uv = vy -\- u x rispetto alle sole vaviabili « , v, verrà 

 udv + V d u = y d V + x du , cioè dando alla tangente 



un movimento infinitesimo tale che s' accordi con F(u , v ) =o essa s' inter se- 

 gherà con se stessa in punto y , x della curva che si cerca . 



Di più F ( «, t> ) = darà du = F' {u, v) dv, e sostituito questo valore 

 in udv -f- vdu z= ydv -\. xdu verrà l'equazione finita 

 u-}-vY'(u,v)=:y-}-x F'( ti , v) 



questa unita a uv = f / -\- ux darà de' valori di w, d in x, y ì quali sostitui- 

 ti in F(m, t)) = o daranno f ( .r , j ) = o . 



Si può pervenire a questo mcdeiìimo risultato anche per altra via , e piii 

 direttamente . Infatti per essere 



dy .dx 



l'equazione F(M,ti) = o dà subito 



