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Ma si h TÌsto che T (u , v) = o , conduce all' altra f{x,y ) = o; 

 questa sarà dunque 1' equazione delU STÌIuppata della curva che dà la solu- 

 zione particolare di ( M ) . Dunque di ogni equazione difl'erenziale di que- 

 sta forma si può assegnare , coli' ajuto delle forniole anzidette, 1' equazione del- 

 la sviluppata della sua soluzione particolare ( Vedi Lar.roix Cale. Intcg. 608. ). 

 Non sarà forse senza utilità il mostrare come ia una equazione della forma 



si possa eseguire una rimarchevole trasformazione . 



_ da dv 



Fatto r = M' — ^ -r ■> x =^u — m— - 



•' dv du 



d'u dv" d'u 



Avremo dy = — v —- , dx = u —— — , supposto essere a- 



dv du dv 



desso V la variabile indipendente , quindi sostituendo nella prima sarà 



vd u' /• du du \ 



"■";7d7'=n "~ ''^' ^>) 



ma si può scrivere 



du N dv du 



V / du \ dv di 



u \ dv y udu di 



y udu dv 



V / dv\ du du 

 o pure — ( V — u — ) 



u \ duy vdv du 



e sostituiti questi valori si vede, che ogni equazione differenziale si può tra- 

 sformare in un' altra , mediante le dette relazioni , in cui si abbia 



x- / du du \ 



(du du \ 

 U V —- , -r- I 

 dv dv J 



E chiaro intanto che queste ultime equazioni non sono indipendenti 1' usa 

 dall'altra , perchè entrambe dedotte dalla siesta equazione. 



Per fare un applicazione delie preceJenli formole , sceglierò il pioblcma 

 ia cui SI propone a trovare ia curva inviluppo di una retta di costante graor 

 dezza, che si muove restando iscrìtta in una suzione conica. 



Sia j' = m j:' -f- H X r equazione della curva , ed y = rt x -f- b l'equa- 

 zione della retta iscritta nella medesima . Chiamando y' y" , x' x" le coor- 

 dinate de' punti d' incontro si avrà 



yj^x'- x" )• -f (/_/')• = ^~:^, [ ( 2«i _ „ )' _ U'{ a' - m )J 



e chiamando e la parte della retta iscritta nella curva , sarà 



