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D' altronde ho riportato questo esemplo per mostrare come le formole 

 anzidette conducono direttamente alla soluzione del problema, ammessa la teorica 

 dell' eliminazione. 



Per la ricerca della forma che debbe avere una equazione differenziale a tre 

 variabili , onde poterne avere la soluzione particolare , seguendo i principi prece- 

 denti sia f(x^y, z) =z \ equazione di una superficie qualunque , e 



r equazione del piano tangente . Chiamando t , u , v le porzioni staccate da 

 questo piano sugli assi delle z, j, x avremo 



' = *—=^-. y-r, 



dz _ dz 

 dx ■^ dy 



(A) 



l 



Cdz dz \ dy iJy dy 



'-""T, -yT^)Tz=y-"d-z-^à 



(dz dz \ dx dy dx 



2 — X -r- — Y j- ) -r = X — z -^ Vt- 

 ax •' dy J dz dz ■' dy 



e da queste si ricava pure la notevole relazione 



tuv = zuv ■'f- ytv -|-j;*«. (B) 



Ove in una ricerca analitica si cerchi l' equazione di una superficie , e 

 mediante le proprietà eh' essa deve avere si giunga ad esprimere la relazio- 

 ne generale che deve sussistere tra le tre parli slaccale sugli assi coordina- 

 ti dal suo piano tangente , si avrà una equazione tra ( , « , r. 



Ora se questa equazione della forma (f (^ u, v, tj= o venga differenziala, ne 

 Terranno le due altre ( e ciò nelle ipotesi di < , u e t , v variabili J 



<p' (u , V , t ) dt = du 



(f" (u , V ,1) dt =. do (C) 



e similmente operando sulla equazione 



tuv ^ zuv -^ y t V -fjTtU 

 si avranno le due altre 



vudt -|- vtdu = zvdu -f yvdt + xudl + xldu . . (D) 



vìdt + uldv = zudv -{- yldv -f rvdl -f xudl. (E) 



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