157 



di z = e a; + C, j- = e' quindi s = e' y -{- C . 



Ora è agevole vedere che le quattro costanti c,c',C,C non sono tutte arbitrarie 

 Ove nella equazione ( F ) si sostituisca e , e' in luogo di -^ e di -- , come 



dx (ly 



pure C in luogo di z — x y- ^ o C invece di 3 — -^ si avranno due equazio- 

 ni F {y,c,c',C) = , e F'(a-,c,c',C' ) = o le quali unite alle altre due z=:cx-\-C 

 3 = c'j -f C daranno una relazione tra e, C, r', C, colla elimininazione di 

 .r , j , z. 



Ciò posto, ove si assuma s = e j; -|- C in cui per c,C si pongano dei valori de- 

 terminati , si avrà 1 equazione di un piano che taglierà la superficie secondo una 

 curva . In tal caso T eliminazione di e', C tra le tre F (^ , e , e' , C) = o 

 F' ( .1-, e, e', C )=o, e z= c'y + C darà una relazione tra x, y, z, e, C che 

 dinoterà 1 equazione della superficie sviluppabile la quale tocca la superficie che 

 rappresenta la soluzione particolare, ne" punti della curva prodotta della sezione del 

 piano i =cx -j- C ed è generala dal piano tangente la superficie primitiva lungo 

 essa curva. 



L' integrale completo è precisamente Y equazione del piano tangente in paiola 

 che ad essere determinato , pare che s' esigga 1' aver prima rinvenuto la soluzione 

 particolare della equazione dilTerenziale proposta , lo che suppone di essersi "ià 



fatta la eliminazione <!' 7- > -f tra (F), (G), (H). E' rimarchevole , che la su- 

 perficie rappresentata dalla soluzione particolare è 1 inviluppo di tutte le infi- 

 nite superficie sviluppabili risultanti dalla eliminazione di due costanti tra 

 F {y,c,c',C ) = F' (x, e, e', C ) = e 2 = e x -f- C , o pure x = c'y -f- C 

 nelle quali sia fissato il valore di c,C o di c'C. Anzi si avranno infiniti sistemi di 

 superficie sviluppabili de' quali la superficie primitiva è 1' inviluppo , se volendo 

 dare i valori determinati a e , C , o e', C si stabilisca tra e , C , o tra e' C 

 una relazione qualunque . E rimarchevole altresì 1' analogia tra la forma del- 

 le equazioni a due variabili di cui di sopra si è parlato e di quella a tre 



potendosi avere per le prime /" ^ j — a: t^ , ^^ ^ = e per le seconde 



„ / dz xdz dy dz \ 



^ \ '~ ^Tx d^ ' Te' Tv J ~°^ ^' '"^'^S'''»'^ completo per quelle es- 

 sendo una retta , ed un piano per queste. 



