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PROBLEMA. 



Dato un corpo di massa M riferito a tre assi ortogonali Or , 0/ , 0; , 

 trovare il suo momento d' inerzia rispetto ad un asso qualunque t , che pas< 

 sa per V origine 0. 



Sieno a , /3 , y gii angoli che la Ot forma con gli assi coordinati , e 

 S la distanza d' nn elemento dM dalla stessa Ot . Inoltre dinotiamo con D 

 la distanza di dM- dall' origine delle coordinate , e u l' angolo compreso dal- 

 le rette D, Ot . Le coordinate di rfM essendo x , y , z , i coseni degli angoli 

 che il raggio \cll.ore J) fa con gli ossi Ox y 0^,02, Terranno espressi da 



X y z 



17 ' d"' "d" ' 



e per conseguenza 



T y z 



cos a ~ -TT-C05 * + -^ cos /3 + -— co* V 



Moltiplicando per D viene 



D cos s = X cos « + / cos /3 -}• 3 cos y . 

 Ma è poi 5 ^ D sen u , e 5' = D' — D'co^'a. 



Quindi sostituendo per D cos «r il suo valore , ed avvertendo essere 

 D- = x' + j- -f s' , 

 jisnlta 



3' = j' scìCa. -f j' seti' fi -{- :' seny — Icos « cos ^xy 

 ■ — 2 cosa, cosyxz — Icos fi cosyyz. 

 Moltiplicando per (/M ed integrando , si ha 



JS' dU = scn'uJx'dM + scn' fiJ/dìA + sen'yj z'dM 



— 2 coscfi, cosfi/xydM — 2cos» cosy /xzdM 



— 2 con fi CQsyfyz r(M, ovvero 



/o'rfilf=i\«f jr*-j-B scn'fi 4- Csen'v— 2D eosct cosfi — 2E cos o-ccsy — 2F co* ficosy(^A.) 

 ponendo , per brevità 



fc' dM= A.fy' dM= B,fz' dM = C 



fxydM= B.fxzdM = ^fjzdM = F. 

 CL° è ciò che si cercava. 



