— 77 — 



dono 



naie di Liouville (anno 1850). Le equazioni di queste due superficie dipendo 

 dalle trascendenti ellittiche: la prima è rappresentata dalle tre equazioni 



C xV — 1 = cosi 4- cosH- 

 (C) < "■'J^ — i=senX+sen(i 



J 0(1= / {lxl/cos-)i-f^x=sen-> -f / dni/cos-(ji-j-a=sen-> 



in cui <x < 1 : queste equazioni nel caso di «= 1 rappresentano l' elicoide stor- 

 ta. L'altra superficie trovata dal Sig. Roberts è data dalle tre seguenti equazioni 



X = COSX-1 COS|X 



(D) { ^y = senx— sen|i 

 a= = 1/ 



— il/ d/l/cos-i-t »=sen-x + / d|H/cos=|ji-j-a"sen-iA I 



nelle quali è pure » < 1 : queste equazioni nel caso di a = 1 rappresentano la 

 superficie prodotta dalla rotazione della catenaria omogenea. 



Le equazioni precedenti contengono ancora delle espressioni immagina- 

 rie, ma l'autore con ingegnose ed eleganti trasformazioni riduce il sistema (C) 

 alle equazioni 



\ / " " \cos='f scn-o/ 



— = E (a' ?) — l''^'~''"S''""? . .T'seii'?— «-.i/°cos-? 

 ^ sen'fcos'f x--\-o.-)f- 



in cui 9 è una variabile da eliminarsi ed a =1/1 ~%- 

 Le equazioni (D) le riduce alle due seguenti 



in cui si ha pure «=1/ 1 — «-, e J. è una variabile da eliminarsi. 



Sin dJl 18iG il Sig. Roberts erasi occupalo delle superficie i cui raggi 

 di curvatura sono uguali e diretti in parti opposte , ed avea dimostrato che tra 

 le superficie rigale la sola elicoide storia gode dell' enunciata proprieth, e che 

 tra le superficie di rotazione vi soddisfa soltanto quella generata dalla catenaria. 



2. Risulla da quanto precede che finora , almeno per quanto io sappia , 

 non si conoscono che quattro superficie di cui i raggi di curvatura sono per 



