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0, A. B; in cui «■, /3 dinotano le coordinate del punto ove s'inconliano le tan- 

 genti applicate in 0, A, B: è necessario però clic si abbiano le ineguaglianze 



le quali dinotano che il punto »', /3' non può stare in linea retta con due qua- 

 Innquc de' tre punti dati. Da ciò segue clie : ciati quaUro jnmti di etti tre non 

 Steno in linea retta, si può sempre per Ire di essi far passare una curva di quar- 

 to grado che abbia questi punii per punti di regresso di prima specie in modo 

 che le tangetiti per essi passino pel quarto punto dato ; e non ve ne può passare 

 rlte una sola. 



Q 1 



Ponendo nell'equazione precedente— = a, ed «'= — si ha l'equazione 



a' 



»' y' — \a a.- xtj' — Ga oi. (3 x- tf — 4 a /3* x^ijJ[-a- /3' a;' 

 — 2jc/3 fa)/' — 5(7 aa5?/« — 3a/3a;» «z + a» /3a;')4.«« i3= (tj — axY =0 

 la quale rappresenta le curve di quarto grado in cui le tangenti a' punii di re- 

 gresso 0, A, B sono parallele alla retta data dall'equazione 



ij^ax 

 purché si abbia 



a>o, a <_, a ^— — , 



ossia che la retta a cui si vuole che le tangenti sicno parallele , non deve esser 

 parallela ad alcuno de' lati del triangolo OAB. 



5 " Supponendo essere C il punto (*', /3 ) se la retta OC passa pel punto di 

 mezzo della AB, la OC sarà un diametro della curva: e prendendo jìcr assi delle 

 coordinate la OCar e la Oy parallela ad AB , chiamando a la OC, a la distanza 

 OD del punto dal punto D medio della AB, e b la retta DB=DA, l'equazione 

 della curva riferita agli assi Qx , Oy è la seguente 



(a— a)'o''j/' —2 (a' —Za' )d'b'x'y'' +(a—a) (a'4-3o) b' a;' 



-t- 4 aa' 6' ( a' — 5 a) x y' — 4 aa 6' (a — a) x' + ìa- a ' 6' ?/'' = o , (1) 

 la quale rap|)resenta tutte le curve di quarto ordine che hanno tre punti di re- 

 gresso ed un diametro. 



4." Discutendo l'equazione generale delle curve di cui si tratta vcdosi che 

 esse possono esser divise in quattro classi: ogni curva della prima classe è chiusa 

 forma una specie di triangolo curvilìneo di cui i punti di regresso sono i tre 

 vertici ed è tutta compresa nel triangolo che ha per vertici i punti di regresso: 

 •pieste curve per brevità le ho chiamale cttrve triangolari ; esse possono avere 

 o uno tre diametri. Ogni curva della seconda classe ha due branghe separate, 

 delle quali una è formata da due rami infiniti che si congiungono toccandosi in 



