— 199 — 



w." s- 



Sul valore del prodotto f (x) f [x+\) f(x+ì)... f {x+l>) 

 pel caso nel quale f{x) è funzione razionale di x. 



(Nota (la servire di seguito alla precedente inserita a pag. 97) 



Si sa che il prodotto continuo 



•I . 2. 3. 4. . . . {x—\) 



fu chiamato da Eulero funzione inesplicabile di x nel caso che x non fosse numero intero, 

 ed infatti in questo caso esso cessa d'avere alcun senso. Intanto l'integrale definito 



coincidendo col prodotto continuo 



1.2.3.... (x— 1) 



pe' valori interi di x, e potendo essere calcolato, come il Legendre ha fatto, anche pe' va- 

 lori non interi di a-, serve in certa guisa come ad interpolare i valori che il prodotto me- 

 desimo assume passando da un numero intero all'altro susseguente. 



Da ciò che ho dimostrato nella precedente nota si ricava potersi ottenere il valore del 

 prodotto continuo 



f[x)f{xAr\)f{x^'ì)....f(x^h) 



posta /'(x) una funzione razionale di x, anche pel caso in cui h, accrescimento della varia- 

 bile, non assuma valori rappresentati da numeri interi. È notabile che questo valore si ot- 

 tenga anche coil'ajuto della trascendente Vx come pel caso semplicissimo del prodotto in- 

 dicante la funzione inesplicabile Euleriana. 

 Sia infatti proposta a risolversi l'equazione 



?(x+4) = /'(x)9(x) 



nella quale si cerca la forma della ?(x) data l'altra f{x). 

 Questa equazione dà 



e successivamente 



?(x+2) = /'(x)/'(x+1)f(x) 



? (X-I-3J = /^(x) /'{«-t-l) /'(aj4-2) ?(x) 



?(xfA) = /'(x)/'(xM)/(x4-2).... nx-L-A-O^la;).... (.4) 



