41 SUR LBS é"quATI0NS DIFFERENTIELLES &C. 



Je fais M = (v -|- y -+- tf (.vy -4- .v{ -f- y?J . 

 Vii R = yy H-y f -+- f? , S = xx -+- x { -+- {{ , 



T=XATH-xyH-yy, (|) = zy -+- ? , (^) W|i-*»»rj 



C^v = lx + r > (^) a2 - x -^y. 



On aura donc les deux équacions 



(yy+yi-t-u) (^) — (*$*+***■ {0 (^7) -K^y— **)M=o, 



(yy-hy? -H? (™) —(xx+xy+yy) (^)-f-(i ? _ ix)M=o. 

 On a en substituant les valeurs dans la i ere équation , & 

 divisant tour, par (x -+- y -+- {^^" r (*y -4- *{ -+- y{)*~ ' , 



(yy-*-yi -«-??) 0* (*y -4- *? -f- y?) -f- » OH- ? ) (*-*-y-w )) 



;_(** h- * { -h T{ ) (^ ( A y -+- xj -+- yi) -+- » (y-4- ? ) (x -4-y-+- ? )) 

 -t- (zy— ax; Cyjr 2 H-p'-hxy l H-^y{-h r^-t-y^-t-y^) = o. 

 On n'obtieiìt par le développemenr que certe seule équation 

 f* -4- v -+- i = o. Ainsi l'un des deux exposans reste indé- 

 terminé. Je passe à la seconde équation, qui devient 



(yy+ y\ ■+- vù (« (*y -4- *{ -f-y{ )-*-K* -+-y) (*-Hy-4- ?)) 



_( XX -t-.ry4-yyK^ (ty^tVyÒ^-'ty-^ {) (*H-y-*-{)) 

 -+- (zj— i*; (yjr 2 -|-p 2 -+- .Yy'-+-3-vy{-f-x{ 2 -|-y 1 {-4-y{ 2 ) = o. 

 Le développement de cetre seconde équation ne me donne 

 que l'équation fj. -f- v -+- 2 = o. Il y a donc plusieurs ùc- 

 teurs qui peuvenc rendre intégrable l'équation proposée. Si 



l'on lait u = v, on a ** = — i , & M = ; : • 



Si l'on fait »= o, on a u = — 2: & M = - :. Si l'on 



