PAR AI. MALFATTI IO 5 



n < m , ni pair. 

 _L -f- _L_ -j. _ L_ _+_ _L_ +&c . 



m /i 2m— n 3™ — — n yt\ —n 



= ( ( — 1) log. i+i cos. — log. i sin. — 



m V v ° 2m D 4171 



H-2C0S.— log.zsm. f -+ 2 cos.— log.! sin. - -f- 



2 cos. (m-2)"- log. 2 sin. (rre — 2)—) — - 



7 4mun£ 



n <.m ì m impair. 



4miang. . 



&c. 



= _ I (log. (1— f) -h 2 cos. iff log. 1 sin. if 



"> v ° l 2/n ° 4™ 



-+- 2 cos. 115 log. 2sin.i5 -h2cos/lZ log. isin.— ^ 



2m 4m am ° 4m 



-|- icos.(m— 1) ^ log. 2 sin. (m — 1) Jj 



4mtang 



"2/n 



C'est ainsi que toutes les combinaisons possibles des sé- 

 ries harmoniques sonc épuisées ; & que leurs valeurs sont 

 déterminées par une expression finie. 



5. Les 8 séries harmoniques des n.° 1 , 2 à signes al- 

 ternati f's , & les 8 des n.° 3 , 4 à signes tous positifs onc 

 entr'elles cene dift'érence remarquable que les valeurs des 

 premières sont finie?, & que celles des dernicres sont infi- 

 nies: il ne faut pas pourtant croire que les expressions de ces 



dernières soient tout-à-fait inutiles, parce que, quoiqu'en cher- 

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