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Questa equazione, cbe k la relazione fia I'oidinala c I'arco di un circolo <li 

 raggio 2r, ci dice gia chc la curva e un circolo di laggio doppio del date ; 

 ma nondimcno possiamo avere anche Tequazione di questo circolo. In fiitti 

 dalPcquazione precedente al)biamo 



S Y 



-rr- = Arc.seii tt- , 

 2)- 2/- 



e difTercnziando 



d'onde quadrando, e riducendo 



r/Y 





_Y2 ' 



e fmalmenle estraendo la ladice, ed integrando saia 



YdY 



ossia 



(X-C)2 -+- Y2=4r2, 



JYrfY 



chc rapprcscnta I'equazionc di un circolo di raggio 2r,coI ccnlio sull'asse delle x. 



Con niclodi analoghi si ponno consideraic le supcificie cicloidali, chc sono 

 il luogo geomctrico di tutte le curve cicloidali, prodoUe dallo svolgimcnio di 

 una curva su di un altra nello spazio , in tutte le direzioni possibili ; ma , 

 trattandosi di superficie cicloidali, bisogna far sentire esplicilamente alle 

 formole la condizione che le due curve, mobile e fissa, abbiano la tangente 

 comune, la qual condizione abbiamo introdotto anche quando le curve erano 

 in un piano, ma pero implicitamente. Trattando il probiema senza questa av- 

 vertenza, si giunge ad una equazione della superficie cicloidale, che essendo 

 a differcnziali parziali avri"!, dopo 1' integrazione, delle funzioni arbitrarie, che 

 appaientemcnte indichercbbero esserc il probiema indelerminato. 



Non e difficile il vcdere che le superficie cicloidali, sono formate da tanti 

 circoli, chc hanno i loro centri, ed i loro piani, situati in guisa, che alzan- 

 dovi delle normali pei centri , queste coincidono colic posizioni delle fan- 

 genti comuni alle due curve. Da cio si deduce, che se la curva fissa diviene 

 una retta , la superficie e di rivoluzione altorno di essa. 



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