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Soslituendo queslo valore ncll' integiale avuto, avremo 



yi ( 1 _„2) -(- x^ ( I -a^) = — 2a2a;2-(-a*i^=— a^xS 



e Bnalmente 



y^{l-a^) -^ x^ = 0, 



dalla quale 



X 



y = |^(a'^_l)' 



che rappresenta una rctta passante per I' origine. Qucsto risultainento po- 

 teva prevcdersi, osscrvando le note propricta della spirale logaritmica riguardo 

 alia lunghezza deH'arco, ed alia inclinazione dclla tangente. Osservando il valore 

 di a si vedo, che non puo mai questo essere <l;quindi la indicata retta csiste 

 sempie. 



Nelle quistioni relative alle curve cicloidali, possono essere date la ci- 

 cloidale, ed una delle altre due curve, cercandosi la terza. Se I'incognita e la 

 curva mobile, conoscendosi la normale alia curva cicloidale , potra aversi la 

 porzione di essa normale compresa fra le due curve date, ed anche 1' arco 

 dclla curva fissa, in funzione di una sola variabilc; e finalmente coll' elimi- 

 nazione di questa, la relazione fra I'arco, e la corda che determina la curva 

 mobile. 



Esempio. Si domanda la cui'va , che svolgendosi su di una retta , im 

 punto fisso sulla delta curva descriva un arco di circolo di raggio R , tan- 

 gente alia retta fissa. Per le propriety del circolo avremo 



(5) s2 = (2 R-Hc) c, 



e questa sarfi la relazione fra I'arco, e la coida della curva cercata. Se po- 

 niamo I'origine nel punto generatore, savh 



c= \^{x^-hif) , ds = ir{dx''^df); 



percio differenziando I'equazione (5), e sostitucndo i valori superiori, si giun- 

 gera ad un equazione tra x, y, dx, dij, che integrata sara I'equazione della 

 curva cercala. Perd a maggior comodila di calcolo, prendiamo le coordi- 

 nate polari, ossia ponendo il polo nel punto generatore, facciasi 



c = r, ds= y[rhW'' ^ dr^); 



dalla (5) avremo 



