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(Icnti termini dclla serie tlei numeri naturali non sia divisibile per x-t- I, 

 san\ scmprc divisibile per tal numeio il mcdesiino prodotto aumentato del- 

 I'unita ». 



La dimostrazioiie del de la Grange risuita perlanlo da alcuni sempiiei. 

 e perspicui ragionainenti intorno all' equazioiie fra la soinma 2"^' , e 

 le altre inferiori l"-'\ l"-\ . . . 1", v' Jejla quale aveva egli premessa la'dc- 

 terminazione, cd a cui con altro nicfodo hanno ultimamcnte (15) ricon- 

 dotto Ic presenti riccrche ; in guisa die dopo Ic preccdcnli considerazioni 

 puo esserne con molta brevita additala la traccia. Fatto nella stessa cqua- 

 zione r = x, si ottiene la trasformata 



a;2'-^)= ( ^+1M^-1)----3.2.1 ^(x-l)(x-2)....3.2 . 1 . 



1.2.3 ....(x-^i) ^ 1.23 TTT T~^ 



( x-l)(x — 2)(-r- 3) . . . . 3 . 2 . 1 „ 

 1-2.3 .... (x-1) ^ 



-H (^-2)(^-3)(x-4) ....3.2.1 „ 2.1 ^,^.., . 



1.2.3 .... {x—2) 1:2" 



dove evidenteinente il primo termine del secondo meinbro, ed i coefTicienti 

 del 2', del 1", ... del I*--", sono ciascuno uguale all'unita; cosi clie I'equa- 

 zione riducesi a 



a;2'-"= 1 -+- Z'-l- l"-+- 1"'-+- . . . . -f- 2;'^-«', 

 ed, aggiungendo cosl all'uno come airaltro membro il numero 2'", 

 (j; H- 1) 2"-'= 2<-' H- 1 -f- x'-i- 1"-+- 2'" .... 2"-*' 

 Siccome in questa ultima equazione il primo termine e manifesta- 

 mente divisibile pel numero x-\-l; e, perche questo si e supposto essere 

 un numero primo, sono altresi per esso divisibili tutti i termini 2', 2", 

 2'", . . . I''-", verifieandosi per tutti la condizione di r<a; -i- 1 (16); cosi 

 necessariamente consegue che deve essere divisibile perx-t-l ancbe la somma 

 degli altri due termini del secondo membro, che e 2'='-f-l. Ma 2'" altro 

 non e che il prodotto 



1.2.3.4.... (x—1)x 

 dunque 1.2.3.4.... {x — \)x-^l e necessariamente divisibile per 

 x-t-l, siccome proponevasi dimostrare. 



18. Ma anche con un altro diverso artifizio analitico puo essere pro- 

 rata, sull'appoggio delle conosciutc formole dei valori di 1' , 2", 2'" 



