r2''' = 



— 90 — 



(,^1),(^_1 .... lT-{,—\)] _ :r(x-l)(x-2) ■ ■ . ■ [x-[r-\)] 



1.2.3 .... (r-l-l) 1.2.3 r 



(x-l)(..-2) .... rx-(,— 1)1 (.._2)(x-3) .... [x-(r-11 ,,. 



1.2.3 .... (»■— 1) " 1.2-3 .... (r— 2) " 



[.r-(,-2)][x-(r-l)] ,,„_,, 



1.2 



I risultanti valori di 2', 2", 2"', 2'", ..... 2''->', post! in luogo di S' , 



S" , S'" , ...... S''-'' nell'espressione gcnerale del valore di P''* (13) , 



la conveiliicbbero in una funzione tutta esplicila di a; e di r , la quale fii- 

 cendo successivaniente r uguaie ad 1, a 2, a 3, a 4., .... . darebbe una 



dopo Taltra cspresse pel solo numero variabile x le somme di tulte le po- 

 tcnzc intere c positive dei numeri nalurali dall'l fino all'a;. 



16. Ossci'vando i progrcssivi trovali valori di t, 2^", 32'", 42'', .... 

 rl'''\ ed il niodo con cui I'uno daH'allio derivano, chiaramente si scorge che 

 ogniqualvolla .x -i- 1 sia iin numero primo, e sia r<:a;-+-l, per cio che fu 

 dinioslrato in generate (7) dclla frazione 



.r(x — l)(x— 2)(x — 3) • . . . (^— r-^1) 

 12 3.4 • • . . r 



ognuno di essi valori , e conseguentemente anche quelli di 2", di 2'", di 

 2'% . . . . di 2"', debbono necessariainente essere divisibili esattamenle 

 per a; -(- ! . 



17. Dalla teste rinvenula (14) equazione generale, che fa conoscere il 

 valore della sounna 2'" delle potcnze r'"" dei progressivi numeri naturali da 

 1 sino ad x, alia quale era giunto per diversa via con una artificiosa appli- 

 cazione del mctodo dei coeflicienti indeterminati , I'insigne geometra de la 

 Grange ricavo una pregcvolissinia dimostrazione del teorema di Wilson, che 

 che fu da lui pubblicata negli atti della reale accadeniia di Berlino del 1771 ; 

 non pill che nn'anno dopo che il teorema stesso era stato meramente an- 

 nunciato dall'inglese matematico Waring, siccome una verita comprovata 

 bensi dal fatto, ma non per anco rigorosamente dimostrata da alcuno coi 

 principii e coi metodi della scienza. II teorema , siccome e nolo, e conce- 

 pito nei seguenti termini. 



» Supponcndo che a: -i- 1 sia un qualsivoglia numero primo, e che con- 

 seguentemente il prodolto 1 . 2 . 3 . 3 . . . . (j; — l)x di tutti i prece- 



