(3). 



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 fcrcnza (/• — 1)"" costanti, quali soiio il primo 



cc{x -t- 1 )(x -)- 2) . . . . (x-^r — I ) 



1 .2.3 ttt: r • 



cd il secondo 



.T(.t^ l)(.r^2) ■ ■ ■ ■ (x -i- r — \)(x ^ r) 

 12.3 ,• H- 1 



Ora il tcrmine generale si siipponga sviluppalo nel polinomio 



.v'_f- S'x'-' -+- S" X--'' ^ S'" x'-'-^ ...-+- S"-2i x^ -f- S"-" X 

 e, per quanto si ha daila teoiia delle equazioni, addivengono noli i valori di 

 tutti i coefficienli S' , S" , S'" , . . . . S''-^' , S"'-i' ; sapendosi che il 

 piimo , cioe S', non e che la somma degli r — • 1 teimini progrcssivi , dal 

 1"'° fino a! (r — 1)'"°, deila sei'ie dei numeri naturaii ; il secondo, ciofe 

 S" , la somma di tulli i differenti prodotti degli stcssi r — 1 numeii mol- 

 tiplicati fra loi'o a due a due; il teizo S'" , la somma di tutti i dillerenti 

 prodotti a tre per tre dei numeri mcdesimi; e cosi progressivamente fino al 

 coeHicicntc S"^"^' , che e uguale alia somma di tutti i divcrsi prodotti di 

 quegli stessi numeri ad r — 2 per volta , e finalmente al S"'~" , che es- 

 prime il prodotto di tutti quanti quegli r — 1 numeii. Poiche portanto la 

 somma generale della considerata serie a differenze (r — 1)""' costanti non 

 puo mettersi in dubbio che debba essere uguale alia somma dclle somme 

 generali di tutte le serie corrispondenti alio singole parti, il di cui aggregate 

 costituisce il termine generale della serie principale, vale a dire il polinomio, 

 in cui esse e state teste sviluppato, cosi avrassi I'equazione 



x{x -+- \){x -f- 2) . . . . (j; -4- r — !)(.« H- r) 



r-f-1 



p('>_^_S'P"'~"-t-S"P"'~^'-(-S"'P*''~^'-+- .... S'''~^'P'''~'"^^'-f-S'''~"P'''~''"^'" 



dalla quale si ricava il valore della somma dellc potenze r"' di tutti i nu- 

 meri interi da 1 sino ad x espressa per le somme di tutte le potenze in- 

 feriori dei mcdesimi numeri sino alia prima , e pei colTicicnti S' , S" , 



S"' S'""^', S"~", i quali si e gia avvcrtito come dipendano non 



costantemente da tutti quel numeri stessi, ma soltanto da tutti i non maggiori 

 del numero r, per lo che variano al variare di questo; e si ha 



