— 8i — 



gui Iciniiiii cli cssa e ugualc al quatlralo dell' imlicc ih\ maggioie dei due 

 designati lennini. La dimostiazione di queslo tcorcma si deduce con somma 

 semplicila dal coiisidcraro, die il lei mine gcneiale, di cui I'iiidice 6 il numero 



qualunqiio .r , deiia serie essendo — ■ (I), si ha per conseguenza il 



(x — \)x 

 termine corrispondentc all'indice .r — 1 espresso da —7 . Per la qual 



cosa la soninia di due coiiligui termini, corrispondenli agi'indici x — I, x, 

 quaiuuque sia il numero .r, e 



{x — \)x x[x -+- I ) 2 .r 



2. 



2 -l — '^x-^— a;; 



che h quanlo volevasi dimostrare. 



10. Da questa proprieta dei numcri Iriangolari si aprc una via facile a 

 determiuare la somma dei quadiati di quanti si voglia conseculivi termini 

 della serie dei numeri n:)turali dal 1"" sino ali'.v"". Si distinguano i due casi 

 di X numero paii , e di x numeri dispari. Nel primo , in sc([ncla del teste 



.. ... , .v(x -H 1)('j; -f- 2) , „ ... . . 



dimostrato teorciiia, la somma ^ -^-- ' della serie dei numeri trian- 



1.2.3 



golari, dal 1'"° sino al x"'", c uguale alia somma dei quadiati di tutti i 



numeri pari dal 2 sino aH'o; ; vale a dire 



e nel medesimo tempo la stessa somma dei numeri triangolari , dal 1'"" 

 fino allV'", 6 uguale alia somma dei quadiati di tutti i numeri dispari dall'l 



x[x -t- 1 ) 

 sino air.c — 1, piu il numero triangolare x"'% che e '-^— ^ ; laonde 



1 . 2 . J ^ ' 2 



Riunendo le due equazioni si ottiene Taltra 



sia, simholcggiando con P''^' la somma del quadrali di tutti i numeri pro- 

 gressivi da 1 sine ad x. 



