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 espressionc clie, moltiplicata per r, da 



l[x^l,x-l}x^^-~^ - 1.2.3.4 ... (x-2Ka;-l) ' 



che is quanto volevasi diinostiare. 



5. L'osservata leggc, con ciii dipondono I'lina dnD'altra le sei'ie, sullc! 

 quali si agjiirano Ic proscnti ricciche; incoiuinciando dalla jiriina, die ha tutti 

 i siioi lonniui ugiiali airunita ; fa che necessariamcnte le stesse serie soiio 

 ognuna la serie delle difforenze successive dei contigui termini di qiiella, da 

 ctii (! sussegiiita ; e che da qiinlsivoglia di esse derivando in sonso re- 

 trograde) la serie delle sue difVcrenze prime, da qiiesla qiielia delle difTerenze 

 seconde, e cosi proseguendo innanzi, le serie risultanti sono ad una ad una 

 quelle stesse che precedono la prescelta ncl quadro, fine alia {z — 1)"" de- 

 rivazione; dalla quale ^ ripi'odotta la serie prima, composta di termini uguali 

 tuiti aH'unila. Egli e per questo che quelle di che si tratta costituiscono 

 una classe spcciale di una immensa eategoria di serie, che godono tutte ugual- 

 mcnte delle notate propriet:\, o derivando da una prima serie di nuineri tutti 

 uguali fia loro, e ad un nutnero dato n , hanno per comuu termine gcneralo 

 la f'ormola 



H(z-t-l) ■ ■ ■ (i-(-.X — 2) 



1.2 . . . (..c— I) ■ 



6. La seconda delle serie sia orizzontali, sia vertical! del quadro, la quale 

 ha le diffeienze prime costanti, e la serie dei numeri naturali; ed ha alcuoe 

 pregevoli proprietii, che (ino ad ora erano limaste forse inosservate. Una di 

 queste si 6,che prendcndo un termine qualunque j;""'di essa.se questo e un numcro 



X 



pari, il suo quadrato 6 uguale alia somma degli ^ termini imniediatamente pr*?- 



cedent!, e degli ^ immediatamente susseguenti alio stesso x; e, se questo e 



,. a — I 

 un numero dispari, il suo quadrato e uguale alia somma di esso, di — - — 



termini imniediatamente precedent!, e di altrettanti termini susseguenti. In 



fatti nel primo caso , quando a; 6 un numcro pari , la somma degli ^ ter- 



X 



mini, che precedono al numoro x, e degli -^ che sono in continuazione di esso, 



