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7. '" )■ "' Ji '" h'" • n '" 11 '" « '" t)'" 



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finalmentc per 5, 



/ij'", /»/", A-,'-', . . . , /»"»r ; n^'"', n,'"', n,'" u'" ,. 



Cio premesso, le sette indicate proprieta saranno le seguenti : 



1 ." L'intiero dato a si trovera spezzato in tante somme, simili fra loro, 

 le quali di nuincro saranno, 



per S, 



;,^'_^ 1 _H h.^ '-t- 1 -f- /(,' -t- 1 -4- . . . -4- /(,' H- 1, 



per 5., 



/,^"h_ 1 _H /i^'-H 1 -¥- h^"-^ 1 ^ . . . .+. ft/' -H 1, 



per S 



/i/"^l ^/(,"'^ 1 , h^"'-^\ -(-... -+-/(V"-^ 1, 



e per S. 



/, w^ I ^ 7,,;»'-H 1 -^ /t^'^'H- 1 ^_ . . . -+- /j;.>-H 1, 



2.° II numero A -+- 1 dei tennini conlcnuti nelle somnic ora indicate, va- 

 ria solo col variare del divisore 3, cui le somme stesse riferisconsi; ed il 

 numero medesimo verri espresso rispettivamente da 



\r\ , V^, , |AS3 , . . . , J/-3. . 



3.° I termini di qualunque somma, presi aiternativamente, costituiranno 

 sempre due progrcssioni aritmetiche di eguale differenza, e costante per ogni 

 somma, di tutle quelle che si riferiscono ad uno stcsso h. Cos\ fatte differenze 

 verranno espresse rispettivamente da 



2{K'-^ 1) , 2(/i/'-+- 1) , 2(/i/"-H 1) , . . . , 2(/^">-K 1) : 



s' intende che in ognuna di quoste formule, deve 1' indice inferiore ricevere 

 uno dopo I'aitro i valori 1, 2. 3, ... , sino a quelle deU'indice stesso. 



4.° Sommando i termini tutti, posti nella niedesima sede negli spezza- 

 menti o soininc diverse, corrispondenti ad un qualunque valore di /i, si avra 

 una progressione aritmetica crescente, di cui la differenza costante ugua- 

 gliera (/»-+-!)*, cio6 il quadrate del numero degli spezzamenti stessi. 



5.° Per un qualunque valoro di h, eli spezzamenti che ad esso corri- 

 spondono, risulteranno di numeri disposti senza interruzione, secondo la se- 



