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Algebra. — Sugli spezzamenli diversi die pud subire tin dato mimero, tutli ad 

 una slessa legge di partizione subordinali. Nota del Prof. Paolo Volpicblli. 



In una preccdcntc mia nota, che ha per titolo : Propriela dei numeri, osser- 

 vuta, ecc. (*), dimostrai parecchie verita, relative alle soinme dei nurneri na- 

 turaii, disposti con data legge. Fra queste verita si trova pure la segucnte : 

 disponcndo i numeri naturali in A -f- I file orizzontali, ognuna composta di 

 h ■+- 1 numeri, a partire da n, progredendo senza interruzione, prima in uti 

 senso poi nel contrario, e cosi continuando; avviene che la somma di cia- 

 scuna fila verticale, quando sia A- -+- 1 pari, si trova costante per ogni fila; co- 

 sicch6, rappresentata essa con a, otteniamo 



(1) [2«-^/4--^l) + A](^) = a. 



Lo scope di questa nota consiste nel trovare gl' interi e positivi valori 

 di n, h, A,soddisfacenti alia (1); supponendo che solo a sia data. Vedremo che 

 la soluzione di cosi fatto problema ne conduce a trovare un metodo, che noi 

 crediamo nuovo, pel quale si ottengono lutti gli spezzamenti possibili di un 

 dato numcro a , soggetti oguelmente ad una ben determinata legge di parti- 

 zione. Cio potra servire ad accrescere la teorica della partizione dei numeri; 

 argomcnlo del quale gia si occuparono il celebre Euler, ed altri geometri (**). 



Pertanto dalla (1) si avra 



__ 2a-(ft-4-l)A-^-(2fe^l)A-ft 

 ^^' 2{A^rT) ' 



ma il secondo membro di questa equazione dev'essere intero e positivo; dun- 

 que, rappiesentando con m un altro intero da determinarsi opportunamente, 

 dovra essere 



2a — {h H- 1)A2— (2/j -H 1)A- _ /t = 2m (A ^ I) ; 

 donde 



— k^— (2m -^ 1 )A ^ 2(a — . m) 



(3) 



A-2h_ 2A ^ 1 



(■) .Vtli (lell'Accadeaiia pontificia de' Nuovi Lincei , T. VI, pag.631. La nota medesima fu 

 comunicala nella scs»ione del IS maggio 1856. 



(■■) Inlrotiuclio in anatysin infinitesimorum. T. I, p. 233, cd anche Commentationet arithme- 

 lieae . . . Petropoli 1849. T. 1.°, p. 73, e 391; T. 2.', p. 27-Veggasi pure pel medcsimo argom.nio, 

 una memoria del Paoli nel vol. 2.° di-lla SoclelS ilaliana, p.-87; il calcnio suljlim.r dil Brun.iccii e 

 PhilosopMcal Transaction. T. 146 London 1850, p.l2', Jiesearches on tite Partition of Numbers, Uy 

 Arthur Cayley Esq. 



