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la proprietà ( d'altronde intéressantissima) delle forme quadratiche a più iodelernii- 

 nate, così detta dal Sylvcster legge di inerzia; e basta, per convincersene, leggere la 

 bella dimostrazione data dal Briosciii di questa legge ( Nouvelies Annales de Malli., 

 voi. 15, anno I8;i0pag. 2Gi ). 



Ecco ora in succinto l'andamento della dimostrazione del Trudi , la quale e fon- 

 data principalmente sul seguente teorema. 



Sia a una delle radici delt equazione f (x) =o, supposte disugiutli; e siano i ed e, due 

 numeri che comprendano la sola radice a, l uno più piccolo, f altro più grande di a , e tra 

 ipmli non cada alcuna radice dell' equazione f (x) = o. Le due funzioni f(\) ed f {%) 

 prenderanno segni centrar ii per x = e, e segni simili per x = e, . 



Dim. siano a, b, e, . . h le radici reali dell' equaz. f{x) =o, e s'indichi con F{x) 

 il prodotto di lutti fattori immaginarii di I." grado di /'(.r); si avrà così 



f[x) = [x—a) {x—b) {x—c) . . {x—li) F{x) 



e (juindi sostituendo ad x il limite inferiore £ della radice a si avrà 



[{'.) = ['— a) is-b){s-c)..[:-l,]F,B). 



D'altra parte, per una proprietà conosciuta nella teoria delle equazioni, si ha 



f («) = («=6)(a-0 ...{a-h)F{a) 



quindi dividendo queste relazioni 1' una per 1' altra risulta 



f {i) , .i-b t-c t-h F(i) ^,^ 



f [a) a-b a-c a-h F[a) 



Ora siccome Ira £ ed a non esiste alcuna radice dell' equazione /'(.c)=o, è chiaro che 

 i numeri £ ed a sono o entrambi più piccoli, o entrambi più grandi di ciascuna delle 

 altre /), e, . . , Zi ; e (juindi i segni delle diirerenzo 



i — b, £ — t', . . , £ — h 

 saranno ordinatamente simili a quelle delle differenze 



a — b. a — e. . . . a — h : 



Laonde essendo F (s) ed F{a) quantitìi positive . ed £ < (f . sarà negativo il secondo 

 membro della (I), e perciò anche il primo. 



