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Segue da ciò che il segno di [{'-) e contrario a quello di f' (n); ma questo segno 

 è simile a quello di /"' (s) , perchè tra s ed a non esistono radici dell'equazione 

 /' [x] = ; dunque il segno di f{i) è pure contrario a quello di f' (s). 



Per r altro limile s, > a basta cangiare nella (!) la s in e, per riconoscere nella 

 slessa maniera che in tal caso il segno di /"(e,) è simile a quello di f' (j,). 



S'immagini ora a|)plicala alle funzioni f[x) ed /' {ce) il procedimento del massimo 

 conmu divisore, col cambiamento del segno ad ogni resto, com'è prescritto nel teo- 

 rema di Sturm, e lino ad ottenei-si un resto indipendente da a? , e si formi la serie di 

 funzioni 



f{x),r{a^,R,,n, , ... ,11, (2) 



Dal teorema dimostrato l'autore deduce immediatamente, che setra due numeri 

 /) e 1/ non esiste alcuna radice doli' equazione f{x) = o , le due serie di segni clic ri- 

 sultano dal sostituire nella serie (2) ora p ed ora q , debbono avere necessariamente 

 uno slesso numero di variazioni , e quindi passa a far vedere che, se trap e q esiste 

 una sola radice , allora la serie di segni che corrisponde al minore dei due numeri 

 deve avere una variazione più dell' altra ed una soltanto. Supponendo poi che tra p 

 q vi siano r radici , a, , a, , a-, , . . , a,.^ , a, ,V autore le immagina disposte per or- 

 dine di grandezza crescente, e quindi suppone inserito un numero a piacere tra ogni 

 due radici consecutive, come s, tra a, ed a^ ; i, , tra a^ ed «5 , e cosi di seguito Uno 

 ad inserire un numero e,_, tra a,., ed a,. . Per tal guisa supposto 7) < 7 si ha la serie di 

 r + l numeri crescenti 



P , i, , ^. , is , . - , fr-l , q 



tali che tra ogni due successivi cade una sola radice dell' equazione f{x)=o; di mo- 

 do pel caso precedente avverrà che la serie di segni corrispondente a qualunque di 

 quei numeri avrà una variazione di piìi di quella che corrisponde al numero che im- 

 mediatamente lo segue; donde poi risulta senza più, che la serie di segni corrispondenle 

 al primo numero p ha r variazioni di più di quella che corrisponde alt uUimo numero q. 

 Si comprende che in siffatta guisa si ha l' inverso del teorema di Sturm , ma 

 questo ne è conseguenza immediata ; perciocché supponendo che la serie corrispon- 

 dente a;; abbia r variazioni di più della serie corrispondente a q, se {va p e q vi po- 

 tesse essere un numero di radici diverso da r, e per esempio r', allora anche la prima 

 serie avrebbe r' variazioni di più dell'altra ; il che è contro l'ipotesi. 



I libri presentati in questa tornata sono i seguenti : 



Abìiandlunrjen der Koniylichen Akademie der Wissenscltaflen. Zu Berlin — ^1859 — in 



4." fig. 

 Kongliga Svenska velemkaps-akademiens handlingar — mj. — fóljd — tS58 — ■ in i." 

 — mi — m.J — Zoologie IV— in i." 



