- 50 — 



negli clemenli doppii di questi sistemi la rcUa L coincide con L' , essa dinoterà dun- 

 que un diametro di S perpendicolare al suo piano diametrale coniugalo P, sarà quindi 

 L un asse di S , e la ricerca degli iissi di questa supeHicic si ridurrà a quella dei tre 

 elementi doppii dei sistemi anarmonici costituiti dalle rette omologhe L ed L'. In- 

 tanto se si conduce un piano trasvei-salc qualunque, clie incontri le rette L ed L' nei 

 j)unli p e p', saranno evidentemente questi punti elementi omologhi di due fonae geo- 

 metriche elementari anarmonichc, sovrapposte nel piano trasversale, ed è chiaro che 

 per i punti doppii di queste forme passeranno gli assi di S; quindi da ciò che si è ac- 

 cennato in principio sul modo, col quale si determinano i punti doppii in due formo 

 elementari anarmoniehe sovrapposte su di un piano , si dedurrà agevolmente la se- 

 guente soluzione del problema proposto. 



Siano A, B, Ci punti dove un piano qualunque P ò incontrato da tre diametri 

 coniugati di una superfìcie di 2.° online S , e siano A', B', C i punti d'incontro dello 

 stesso piano P con le perpendicolari tirate pel centro della superficie S ai j)iani 

 diametrali BOC, COA, AOB. Si tiri per un piano qualimque n, che incontri i piani 

 BOC, COA, AOB secondo le rette Oa, 0^, Oy , e siano negli stessi piani Oa, Ob, Oc 

 i diametri coniugati di Ox, 0.3, Oy; i Ire piani aOA, bOB, cOC s' intei"segheranno in 

 una slessa retta, che sarà il diametro coniugato del piano n in S. Sia D il punto dove 

 questo diametro incontra il piano P, e D' il punto d' incontro dello stesso piano con la 

 ))erpendicolare al piano n tirata jxjr O. Considerando i due qnadrigoni ABCU , ed 

 A'B'C'D', ed unendo due loro vertici omologhi, per esempio A ed A' con gli altri tre, 

 B, C, D e B', C, D', le coppie di rette omologhe (AB, A'B), (AC, AC), (AD, AD') de- 

 termineranno con le loro intersezioni tre punti, che indicheremo brevemente con pa; 

 similmente si otterranno tre altri gruppi p^i, py, p5, ciascuno di tre punti, conducendo 

 successivamente delle rette dalle coppie de' vertici omologhi (B, B) , (C, C) , (D, D) 

 dei quadrigoni agli altri tre vertici. Le qiuittro coniche deteniiinate dai gruppi di cin- 

 que punti (A, A', pa), (B, B', pfl), (C, C, py) (D, D', pJ) passeranno per i medesimi 

 Ire punti X, X, Z; le rette che congiungono questi punti con saranno , in direzione, 

 gli assi delia proposta superficie S di 2." ordine. 



Rimangono a determinarsi le lunghezze dei semiassi di S ; ora per un noto teore- 

 ma, la somma dei quadrati delle proiezioni di tre cUametri coniugali di una superfìcie 

 di 2.° ordine su di una retta qualunque, è costante ; adunque se si proiettano i tre (Ulti 

 semidiametri coniugati di S successivamente sulle rette OX, OX, OZ, la somma dei 

 quadrati delle proiezioni su ciascuna di (pieste rette sarà il quadi'ato del semiasse 

 corrispondente di S; con ciò la quistione proposta si potrà ritenere per completa- 

 mente risoluta. 



