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golctto, clie ha per lati due cordc successive, ed uii elcmcnto dell'arco della 

 curva mobile, c da un' altro triangoletto isoscele, clie ha due lati uguali alia 

 corda della curva mobile, e per angol'o intercetto la somma dei due di con- 

 tingenza della mobile, e della fissa- La somma di tutti i piimi triangoletti, 

 safti evidentemente uguale all'area della curva mobile, che chiameremo A; 

 mentre la somma di tutti i secondi triangoletti sara espressa da 



pel che I'area compresa fra la cicloidale e la curva fissa sara 



/>/! 1 \ r^ds 



A-+- / - -t- -j-cT ' 

 J V P/ 2 



e volendo 1' area A della cicloidale, presa rispetto un asse posto a! di sotto 

 della curva flssa, dovremo a questa formola agggiungere I'area Aj della fissa, 

 od avremo 



a=ah-a,-h/— ^ j_. 



Quando la curva immobile sia una retta, avremo 



e se la curva mobile b uguale alia fissa sara 



A = 2A-^2riJ^. 

 J 2p 



Questa espressione, doppia della precedente, dimostra per le aree delle ci- 



cloidali un teorema, analogo a quello enuciato superiormente per gli archi 



delle medesime- 



ESEMPI 



I." Prendiamo per primo esempio la spirale logaritmica, che, come si e 

 detto, nello svolgersi su di una retta ne genera un'altra, inclmata alia prima 

 di un' angolo che ha per langente m , nella quale abbiamo 



,,2 



r = ac'"" , A = 7— , rfm = f/9 ; 



