DEL COSTG PAOI.O 1)1 S. IIOUEUTO I \"j 



Quando al punto, dove u=z<x> , l'arco e linilo, questo punto e 

 sempre uno de' punti singolari della curva : in fatti il secondo coellicienlr 

 dillerenziale 



'I* J _ S 



dx" (mcos. )' 



- .< 



che si ricava dall'equazione [10] N.° 2. , vi iliventa nullo. La nalura poi 

 del punto singolare dipende dalla lunzione f{u) , che entra ne' suc- 

 cessivi coellicienli diH'erenziali. II ramo ulleriore risponde sempre ad un 

 altro problems di meccanica , in cui trovasi modificata o la direzione 

 della velocita o della resistenza. Alcune voile non esisle neppure un ramo 

 ulteriore , salvo che non si dia maggior estensione alle equazioni del moto 

 gia slabilite. 



L'arco , che termina al punto , dove u = o , e sempre linilo , se 

 /(o)>i ; ma se /"(o)=t , esso e finito, quando rc<; 2 , ed in- 

 finito quando 11^2. Essendo n un numcro, che l-ende finila I'espressione 



/( " ) ~ 1 

 u" 



per u = o . 



(iiova avverlire , che il punto corrispondente a m = o , e anch'esso 



un punto singolare della curva; poiche si ha 



d 1 r 



d£ = CC > 

 <|i\ando U = o . 



Ove sia /(o)<i , l'arco, che risponde alia velocita minima, e 

 linilo; ed infinito qucllo , che risponde alia velocita tenninale. Laonde 

 la velocita von raggiugna rigorosamente il limite, verso cui tende con- 

 tinuamente , se non quando lo spazio percorso e infinito. 



10. Si e visto ( N.° 7. ) , che la tangente estrema del ramo negativo 

 della curva u verlicale, quando il grado della resistenza e ugualc a zero, 

 ed inclinata quando e maggiore di zero; e che quella del ramo positivo 

 e sempre verticale ; giova ora cercare , se queste tangenti estreme sono 

 situate a distanze finite od infinite dall'origine , od in altri termini cer- 

 care , se la traiettoria ha degli assinloli. 



Cominriando dal ramo discendenle, a scoprire , se la sua tangente 

 estrema verticale incontri l'asse delle x ad una distanza linita , basta 



