8 SUR LES INTEGRALES DEFINIES 



Ce dernier moyen laisse souvent de I'obscurite sur les 

 resultats qu'il fournit , et Ton peut souhaiter de les voir 

 demontres par un precede plus direct. Par cette raison 

 nous avons entrepris de demantrer , dans le premier ar- 

 ticle de ce Memoire, un resultat remarquable, auquel M. 

 Legendre est parvenu par la consideration du passage 

 du reel a I'imaginaire. Nous avons pour cela fait usage 

 de la seconde des trois methodes precedemment indiquees, 

 laquelle se trouve principalement developpee dans un in- 

 teressant memoire de M. Poisson , sur les integrales M- 

 fnies , imprime dans le tome IX du Journal de I'ficole 

 Polytechnique. On ne verra peut-etre pas sans interer , 

 comment la consideration des racines egales de I'equation 

 de laquelle depend I'integration de I'equation differenlielle 

 llneaire, rattache a I'integrale definie dont il est. question, 

 d'autres resultats qui en paraissent d'abord separes. 



Dans le second arricle , nous y donnons la valeur de 



I'integrale, 



O dx . log. f\-*--i*. cos ax-^a-' ) 



f 



«'•-+- 2 n' . x'. cos 2 9 -«- /I* 



prise depuis x=o jusqu'a jc==oo, ainsi que celles de 

 plusieurs autres qui en derivent par la differentiation rela- 

 tivement aux constantes a et tt . C'est par la reduction 

 en serie de la fonction logarithmlque que nous avons pu 

 exprimer cette integrate par deux series qu'il a ete facile 

 de sommer par des transcendantes ordinaires. 



La meme mediode a reussi dans le troisieme article 



