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 $x V (dx* -4- d y i -4- </ {*) dxldx 



2 x y x yx X - . ((<a' j i/^ 1 ^ tf ^* ) 



dy I dy d zl d r , 



v-*XV(rf*' + ^» + ^0 V*XV(<<* l + df+diC) * 



pofant pour abreger ds = v' ( ^x 1 -+- dy* -+■ ^{'), 



</.r ^jc p dy d^ 



n 



P = ^-, ^ 



iaV^ dsy'x d.fv'* dsv" x 



& toutes les autres quantites q, r, 7V, Q &c. = o. 



I I I. 



Premier cas . Or fi le Probleme eft de rrouver en ge- 

 neral , entre toutes les courbes poffibles , celle de la plus 

 vite defcente , on aura en ce cas les equations 

 n — dp = o ; d P = o ; d P' = o, favolr 



d s , dx , dy , d ^ 



mi/* dsy'x dsy'x dsy x 



= o ; ces trois equations devant reprefenter une courbe 

 unique , il faut qu'elles fe reduifent a deux feulement ; c'eft 

 de quoi il eft facile de s' aiTurer par le calcul ; car , la 



feconde etant mulupliee par x — ?— & ajoutee a. la troi- 

 fieme multipliee par i — _L_ il vient , a caufe de ds 1 = 



1 dsy'x 



i dx 1 

 d x 1 -+• dy z -+- d t 1 , d - ( ) — o , favoir , en 



different 



lant & divifant le tout par , — 



r dsy'x -lxV 



dx 

 d- = o qui eft la premiere equation. 



Prefentement , fi Ton integre les deux equations d ■ — Z— 



° L d sy x 



= o , & d - - — L. = o , on a -j-¥- = — i & ~~- 



v 



dsy'x dsy'x y a dsy x 



z = 



