x8o 

 Vdi = o . Equations qui font connoitre que la furface 

 propofee doit toujours etre coupee a angles droits par la 

 courbe cherchee . 



Si la brachnftochrone doit {implement etre terminee par 

 deux furfaces donn^es de pofvtion; alors pour remplir l'equation 

 (C) il eft neceffaire de faire feparement "M = o , & 

 M' = o ; d'ou 1' on tire pour le premier , & le dernier 

 point de la courbe les memes conditions qu'on a trouve 

 dans le cas precedent pour le dernier point feulement; on 

 en conclura done que la courbe cherchee fera celle , d'entre 

 routes les cicloides poffibles , qui rencontrera perpendiculai- 

 rement les deux furfaces propoiees. 



V. 



Second cas. Suppofons maintenant que la brachnfto- 

 chrone doive etre toute couchee fur une furface donnee , 

 dont 1' equation foit d^ = pdx -+- qdy; changeant la 

 caratheriftique d en I, on aura done S% = pi x -+- <f ly , 

 equation qui donne le rapport qu'il doit y avoir en gene- 

 ral entre les differences &f, iy , Ix. Subftituant cette 

 valeur de &{ dans 1' equation (2?), & faifant enfuite les 

 deux coefkiens de S.v, & de ly chacun = o on aura 

 pour la courbe cherchee 



, d £ d s , d x 



* d j V * z x\/ x d s^ x 



(I i \' x d 5^ X 



Ces equations reviennent au meme , etant combinees avec 

 1' equation a la furface d i = p dx -+- qdy. Car mul- 



tipliant la premiere par , 8c la feconde par — — 



dsyx . dsy^x 



& les joignant enfemble , on trouve , apres toutes les 



redu- 



