Lemme quatrleme. 



Soit Z une fonction de x , j , { , &c. j </ x , t/ j , 

 <f^, &c. J d dx ,ddy ,d d I, &c.; &c. &c. qu'elle foit 

 une differentielle exatte d' une fonftion d'un ordre moins 

 eleve , d' une unite , & que B foit cette integrale incon- 

 nue , il eft clair que difFerentiant d'une maniere indepen- 

 dante des differences qui fe trouvent dans Z &c dans B, 

 ]' ai I d B = ^ Z , &c p Z ==i B . Le figne d' integra- 

 tion f fe rapportant a la cara£teri(lique d. 11 fuit deli 

 1.°, que cherchant a integrer SZ par partie en regardant 

 les ix, ^y, ^ 1 1 &c. comme des variables ordinaires , 

 on aura neceffairement egale a zero I'expreflion qui refte 

 fous le figne / fans pouvoir etre rdduite : 2.°, que 1' ex- 

 preflion qui fera hors du figne fera identiquement la me- 

 me que tB, mais la premiere expreflion doit etre nuUe, 

 quelques foient les Sx, ^ y , ^{, &c. , & fans donner 

 aucune equation entre les variables j done on aora dans 

 ce cas pour que Z foit vraiment egale h d B les equa- 

 tions ( 5 ) de condition que M. de la Grange dans fon Effai 

 d' une nouvelie methode de determiner les maxima ou 

 minima des formules int^grales indefinies, probleme premier 

 page 176 du fecond volume des Memoires de la Societe 

 Roiale de Turin deduit de 1' equation de la page 1 7 5 , & 

 il faudra que ces equations foient telles que tous les ter- 

 mes s' en detruifent mutuellement, quant a la feconde 

 expreflion , on aura la fonftion ( C ) de la meme page 

 egale a i B , done integrant cette fonftion par rapport k 

 la carafteriftique J , & regardant les autres differences 

 comme de nouvelles variables , on aura B , done h j' ai 

 Z differentielle exafte , & que j' en cherche T integrale , 

 je n'aurai qu' a chercher celle de la fonftion C,quicon- 

 fideice par rapport a la earafteriftique S eft comme une 

 fonftion du premier ordre , differentielle exade d'une fpn- 

 6lion finie. 



