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dans ces fonflions d'apres 1' hipothefe aftuelle que la fon- 

 &\on ion une difforentielle cxafte. Dans le cas oil la fon- 

 ftioii Z contiendra les ^ du ProbUme premier. A, B, C, 

 i? , £ fi'c. contiendront des differences partielles de {, 

 mais on a une equation identique du degre 772 en ^ qui 

 donnera ces differences par des fonftions rationelles de j 

 des variables & de leurs differences , enforte qu'on con-- 

 noirra toujours A , B , C , D , E &c. , 5c qu'ils ieront 

 de la forme du Lemme fixUrtie C , Q , i^ , T . 



PROBLEME TROISIEME. 



Integrer la fonftion A d x ~i- B dy -+■ Cdp •4- Ddq 

 -♦- E d r &c. qu'on fait dtre une differentielle exafte 

 d' une foriftion finie de x , jy , /? , q , r &c. les A , By 

 C f D , E &c. pouvant contenir une fontHon ^ donnee 

 par une equation identique de degre m en { , & x y y , 

 p, q , r &c 



Sol. 1° , je fuppofe que A, B , C, Z> , E &c. etant 

 rationels ne connennent pas ^, I'integrale de la propofee 

 ne peut-etre que I. A' -f- m I. B' -h n l. C -*- p I. D' ■+■ . . . 



-+- -^ ; A\ B\ C, D\ P\ q etant des fon- 



ftions rationelles & entieres des variables , & le noiiibre 

 des A', B ,, C , D ne pouvant etre plus grand que la 

 fbmme des plus hauts degres de ^ , j' , p , ^ , r dans la 

 propofee , done par les Lemmes i , 2 , 3 , on pourra 

 avoir ces fonftions dont le nombre & la forme font con- 

 nues. J' ai donne dans mes EJfais d' anallfe des moyens 

 d' abreger le travail qu'exige cette operation. 



2° En fuppofint que A , B , C , D , E &c. contien- 

 nent ^ , la propofee ne peut avoir pour integrale que 

 LA' -^ B' i-^ /)'^».-. _t- /> /. A" -H jS"{ . . . . 



