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Suppofons d'abord que A foit aiff^rent: de i , & Ton 



aura neceflairement p q -4- a q p = s A'' , ce qui reduit 

 I'equation (£) a celleci: A^ = {p p i+: aqq'Y — 

 a s^ A*, par laquelle on voit que p p ^- aqq doit auffi 

 ^tre divifible par A'' ■, de maniere qu'on aura/J/j' i+r a y ^' 

 ^ r A'-, 8c par confequent en divifant toute Tequaiion par A^ 



I = r' — a J* 



Si A etoit = 2 , alors comme q Sc q' font premiers 

 ^ A , ils feroient tous deux impairs ; par confequent 

 leurs Carres feroient chacun un multiple de 8 augmente 

 d' une unite ; de forte que la difference de ces carres 

 feroit neceflairement un multiple de 8 ; on auroit done 

 q" — -^' = 8/72, & I'equation {F) deviendroit, a caufe 

 de A ^= 2, 31OT =s {p q -t- q p') {pq — ^ P ) i ^^^^ 

 il faudroit neceffairement que I'une ou I'autre des quan- 

 tites p q •+■ q p , p q — q p' fut divifible par 4,c'eft-a- 

 dire par A'- comme dans le cas precedent. 



8 Soit 3° R = ABC. Ay B , C etant des nombres 

 premiers; done il faudra, en vertu de I'equation {By 

 que I'une ou I'autre des quantites x y -^ y x\ x y 



— y X foil divifible par R , ce qui rentre dans le cas 

 de VArt. 6 ; ou bien que I'une foit divifible par A , & 

 i'autre par BC. Soit done xy -+- y x = qB C, & 

 I'equation {^A) deviendra A^ B^ O = ( x x' -+- ayy')* 



— aq^B^O; de forte qu'il faudra aufli que x x' ::*- a^y' 

 foit divifible par B C ; done id^\(a,nt x x -*-, a y y = p B C, 

 & divifant toute i'equation par B'^ C on aura A^ = p- — a q"-. 



Si on combine de meme I'equation R = x^ — ay" 

 avec I'equation R = x'' — ay"'- {Art. 4), & que ni 

 I'une, ni I'autre des quantites xy''-''+- y x" , x y' — y x" 

 ne foit divifible par R , on parviendra par la meme me- 

 thode a une equation de cette forme k^ = p'- — a q'- , 

 k etant Tun des fafteurs de R. Done Ci k =: A on aura 

 deux equations qu'on traitera comme on a fait ci-deflus 

 Mifc. Taur. Tom. IV. g 



