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Dans le premier cas on fera ^ c( -^ qf =s A'-B*^, & 



I'equation {G) deviendra J^ B^ = {p f ~^_ aqq'Y — 

 a s^ A'* B* J done on aura aufli p p' -+- a q q = r A'' B'' ^ 

 & divifant toute l'e.]uation par A* B*, on aura 

 I = r' — as'. 

 A regard du fecond cas il eft clair que fi les deux 

 tjnantites p q ■+• q p' ■, p q — qf etoient divifibles en me- 

 me terns par A ou par B , il taudroit que ieur Ibmme 

 1 p q le fuc aufli , ce qui ne peut etre ( a caufe que p & 

 ^' font premier k A &c B ) a moins que i'on n'ait A on 

 B = ^ i mais alors q &c q' feroient neceffairement im- 

 pairs , ce qui donneroit q'- — q'- = % m; de forte que 

 I'equation (//") deviendroit (en fuppofant B = ^) 

 ^imA' = (pq -^ qp) (, p q — ^ f' ) ; done , puifque 

 r une des deux quantites p q -h q p , p q — q p ett fup- 

 pofde divifible feulement par B , il faudra que I'autre le 

 ibit par iGA'- , & par confequent auffi par A"^ B^; ce qui 

 fe reduit au premier cas. 



Le troifieme cas ne peut point avoir lieu du tout , a 

 caufe que la fomme des quantites p q -+- qp'-, pq — qp 

 n' erant point divifible par A B , il eft impoflible que cha- 

 cune de ces quantites le foit. 



Refte le quatrieme cas , dans- leqiiel on ami p q r^ q p' 

 = s B^, s n' dtant point divilible par A ; on aura done 

 dans ce cas , au lieu de 1' equation ( G ) , celle-ci : A* B* 

 = (.P p' \^ ^ ^ ^'y — a s^ B'* ; par confequent on aura 

 aufli p p' r^. a q q' = r B' ; & divifant toute I'equation 

 par B\ on aura A"* = r'- — a s^ ;. & comme s 8c a 

 ne font point divifibles par A , r ne le fera pas non plusj 

 de forte que r &c s feront premiers a A . 



Ayant 1' equation A* = r'- — a s^, il faudra encore 

 en avoir une autre femblable pour pouvoir refoudre le 

 ProbUme. Pour la trouver on continuera a multiplier 

 enfembie deux a deux les autres equations de I' Art. 4 , 



