& il eft facile de voir par ce que nous venons de mon- 

 trer , que (i ces combinaifons ne donnent pas quekmes 

 uns des cas qui ont deja eie refolus , elles donneront ne- 

 cefTairement a la fin deux equations de cette forme ^* = 

 r' — as"-. A* = /'■ — a /% y^ etant I'un des quatre fa- 

 fteurs de i2 & A, J , / &: / eranc premiers a A. 



En etFet puiique le nombre des equations de VArt. 4 

 eft infini , & que le nombre des cas qui peuvent arriver 

 eft limite , il ell evident que le meme cas devra arriver 

 une infinite de fo»s ; de forte que (i 1' on ne trouve pas 

 qnelques uns des cas que nous avons deja refolus, on 

 trouvera necefl'airemenc deux , & meme une infinite de 

 cas teis , que A* = r^ — a j% & A^ = r'^ — a /^ ; 

 mais il fuffira d'en avoir deux , pour que le Probleme foil 

 refoluble. 



On aura done par. le moyen des deux equations dont 

 il s'agit 



A' = {r r' -*- a s s y — a{r s -^r- s r'Y (/) 



A*{s' — s'):={rs-^sr'){rs'-^sr') . . . {K). 



Done il faudra , en vertu de T equation ( iT ) , que 

 I'une ou I'autre des quantites r s H- j r' , r s — s r' io'xt 

 divifible par A'* ; ou , que routes les deux fbient divifibles 

 ■k la fois par A; mais, dans ce dernier cas, il faudra 

 aufli que leur iomme ^ r s foit divifible par A, ce qui 

 ne peut etre a moins que A ne foit = i . Or fuppofant 

 A ■= 1. on aura /* — j' = 8 m, ce qui reduira i'equa- 

 tion {^K) a x' m = (r/ -t- s r ) ( r s — sr') d'oii 

 Ton voit que fi I'une des quantites r s' •+■ s r , r s' — sr 

 eft divifible feulement par A , I'autre le fera neceffairement 

 par A*, & par confequent au/fi par A*. 



Le cas oil r s -+- s r 8c r s — s r feroient toutes deux 

 divifibles par A'' ne fauroit avoir lieu , a caufe que leur 

 fomme X r s' ne peut jamais etre divifible par y^'j de lorte 

 qu' il ne reitera que le cas , ou I'une ou I'autre de ces 



