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Soil maintenant T equarion (B), At x -^ Bty -H 

 C^ ^ . . . = o , il eft aife de voir qu' an lieu que dans 

 le Problime des ifoperimkrcs il faut , lorfqu' il n' y a pas 

 de fuppofitions etrangeres que A=o,Bz=oS>cC=o\f 

 il fuffic ici que A'^ x -^ B"^ y -^ ci i . . . . = o {^s 

 5x, ty, S{ . . . . etant lies entre eux par cette hipo 

 theie qu' il foient donnes par I'equation finie qui doit avoir 

 lieu entre les variables, (on A d x ■*• B' d y -i- C d { = o 

 la differentielle du premier ordre qui en nait , j'ai A 'H x 

 •+• B' \ y -t- C ^ { = o , d'oii fubftituant & egalant a zero 

 le coeficiens de ^ ^ & Sj)' qui reftent A B — B A'=o,AC 

 — C A' = o , & enfin A d x -+- Bdy-^Cd:( = o, fi 

 j'avois fait t x ■= A' hy , t x =s B' ^ i, j'aurois eu feu. 



B C » > ^ B^v . 



lement A -+< -— j- -H -^sr = o, aou. A -i- — ; H 



A B dx ^ 



p J „ i 



— ; — = o , ce qui revient au meme que ci-deflus , & 



ax ^ . ' ' 



d'oii il fuit que lorfqu'on cherche la Solution la plus eten- 



due du Prohleme ( c , a , d) avec la condition des S {■ , 



^ X , "B y donnes entre eux par 1' equation cherchee , ore 



ne peut trouver qu'une equation entre toutes les variables. 



11 femble d'abord que cette fuppofition n'eft pas legitime^ 



parceque A , B-' , C font finis par 1' hipotliefe, & que j'err 



trouve des valeurs d'un ordre fuperieur , voici la lolutior* 



de cene difficuke. Soit V = o \' equation finie , 8c 



A'dx-^-B'dy-hCdi=o fd difference , que F^con- 



tienne n tranfcendantes ou arbitraires , que A',B',C' en 



contiennent n — i i & que je connoifle toutes les diffe- 



rentielles de K jufqu' a celle qui elt algebrique ; il eft clair 



qu' en fubftituant dans les A',B',C, les valeurs des tran- 



fcendantes ou arbitraires qu'on tire de ces equations on 



parviendra a une equation identique de 1' ordre n — i , 



ou k une de 1' ordre n qui fera la m^me que I'equatiorj 



algebrique tirce de K= o , on aura done des valeurs de 



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