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lument la mime , \ V exceprion de la determination dcs 



arbitraires. 



Soit r equation ( C ) pour le cas de maxima , & mi/ii- 

 -ma, j'ai naturellement i m . ( n — i) de quantit^s arbi- 

 traires , m d^fignant le nombre des variables , 8f n I'ordre 

 de la fonftion Z , & celui des conditions a remplir eft 

 « m — I , parcequ' il y en a une qui fe determine * eo 

 prenant une valeur determinee d' une des variables qu'on 

 luppofe ^tre reftee dans l' Equation (C) apres les elimi- 

 tiations oil conduit I'^quation {B). Dans la m^me hipothife 

 on a pour le Problime des Tautochrones n . ( m — i ) — i , 

 conditions , & i n arbitraires. Ces feules conditions font 

 indifpenfables , fi on veut encore que x etant z6to , par 

 exemple fZ foit encore le meme quelque equation qu'on 

 fuppofe entre les variables , on aura pour le premier cas 

 n m nouvelles conditions , & n. ( m — i ) pour le fecond, 

 Toutes les fois que dans ces fuppofitions le nombre des 

 conditions furpaffe celui des arbitraires , le Problime en 

 general n' admet pas de folution ; au relle il faut dans 

 chaque cas particulier verifier les equations , parceque la 

 determination des arbitraires fuffit dans quelque cas pour 

 un plus grand nombre de conditions , & que la valeur de 

 ces arbitraires peut reduire les Equations entre les varia- 

 bles ^ n' avoir pour lieu que des points conjjgues , ce 

 qu'on ne pourroit regarder comme une vraie Solution, 



Lorlque le Probleme pris en general n' a point de folu- 

 tion il faut le confide rer d' apres certaines hipothefes qui 

 le limitent. Ainfi dans le Probleme des maxima , on fuppo- 

 fera ou que les valeurs des S x , ^ y &c. t dy ,t d x &c. &c. 

 foient nuls , foit pour la valeur ou Ton fuppofe que f Z 

 commence , foit pour celie ou elle fe termine , ou biea 

 -on fjppofera des equations entre ces quantites pour les 

 memes valeurs , & aiors ce ne fera plus en general entre 

 toutes les valeurs de f Z qu'on cherche la plus grande. 



