i6 



& que cette iritegrale n' en ait point de g^ndrale dans ce 

 cas , P ne doit avoir qu'une valeur polTible fi la difFeren- 

 lielle , n' a auffi qu' une valeur , done on peut avoir P = 



B' 



- —J , & fubftituant cette valeur dans 1' equation , dc 



condition qu'os a en P' , elle doit devenir identique , ce 

 qui donne 1' equation de condition cherchee. Si au con- 

 traire la propofee a deux integrales de 1' ordre n — i , 

 il ell clair que P a une infinite de valeurs d'ou il fuit 

 qu' on ne peut le fuppoler donne par une equation lineaire, 

 mais feulement par une equation differentielle m^me aux 

 differences partielles , done on aura pour que les 2 « — 3 

 equations de conditions qui contiennent des inconnues , 

 s' accordent avec celle qui n' en contient pas les deux 

 equations ^' = o & ^' = o , qui feront ici les equa- 

 tions de condition , & comme lorlque le nombre des va- 

 riables etl plus grand que deux , A' &c £' out plulieurs 

 valeurs , la meme chofe doit avoir lieu pour routes ces 

 valeurs. Les equations de condition que donne M. Fontaine 

 au dela du lecond ordre ne font que pour les equations 

 homogenes , fur quoi voyez ci-deffus V Obfervation 111., & 

 pourroient etre iliufoires parce qu' il fuffit ici que A' = o 



Sc B' = o ce qui peut arriver fans que -=r- , paroiffe fous 



la forme — . Pourque A' = o Sc B' z= o , il fuffit que 



la propofee ait deux integrales de 1' ordre n — i , & il 

 eft clair que fi 1' equation a une integrale complette & fi- 

 nie , on pourra a la fin trouver "une de ces integrales oil 

 la plus haute difference fe trouve debarraffee de toute 

 rranfcendante , cette equation une fois trouvee , on pour- 

 roit la traiter comme la propofee, & ainfi de fuite , & 

 avoir par - la les equations de condition quoique fuccefli- 

 vement & polterieurement a la recherche des integrales 



