dans lefquelles X eft une fonftion de a: , & K une fo«. 

 ftion de y . 



Ainfi la folutlon du Probleme depend raaintenant de T ia- 

 t^gration de ces deux equations. 



III. 



Pour rendre nos recherches plus g^nerales , propofons- 

 nous les Equations 



•4- M = o, — -~ -+- AT = o, Af, & iV etant 



I // /* ' i // /* 



des fonftions de x , jy j & voyons quelles font ks condi- 



lions de l' integrabilite de ces equations. 



Nous fuppoferons que ces deux equations ^tant multi- 



pliees r une & 1' autre par des quantites convenables , & 



enfuite ajoutees enfemble forment une equation integrable. 



Cette fuppofition eft peut-etre la feule qui convienne a la 



nature des equations propoiees , & elle eH d'ailleurs la plus 



naturelle , & en meme terns la plus generale qu'on puiffe 



faire. Or comme les deux membres M , &c N font des 



quantites finies , il eft vifible que les multiplicateurs ne fau- 



roient etre que des quantites differentielles du premier or- 



dre . Prenons done md x -t- n dy, & /* d x -t~v dy pour 



les multiplicateurs dont il s' agit , m, n , [a, &c v etant 



des fonftions de x , y &c nous aurons 1' equation 



m d X d' X -f- ndyd^x -*- fj.dxd'y ■+■ ndyd'y 

 -— _ 



•+■ (mM ■+■ f/.N) dx -4- («Af-4- 1 N) dy ■= a 

 laquelle ne fauroit etre integrable a raoins que les deux 

 parties ( favoir celle qui contient des differences fecondes, 

 & celle qui ne contient que des differences premieres) ne 

 foient integrables chacune en particulier. 



Or il n' eft pas difficile de voir que 1' integrale de la 

 premiere ne peut-^tre que de cette forme 



