Sur I' integration d'une equation different telle a. differences 



jinies f qui contient la theorte des fuites 



rinirrentes 



PAR M. LOUIS DE LA GRANGE. 



i. £\ OIT propofee l'equation diffdrentielle dy -t-yXdx 

 i^^ = Zdx, ou X & Z expriment des fon&ions 

 *^* quelconques de la variable x ; 1' on fait que 

 pour integrer cette equation , il fuffit de faire y = u £ , 

 ce qui donne it d ^ •+- ^du-hu^Xdx = Zdx y ou 

 Ton peut faire evanouir deux termes par une valeur con- 

 venable de // , ou de {. Suppofons done \du -+- u^Xdx 

 = o , & divifant par £, Ton aura d u -+- u Xd x = o 

 & par confiiquent ^ = — Xdx, & lu = —fXdx, 

 favoir u = e -f*** 9 ou e eft le nombre, dont le loga- 

 rithme hyperbolique eft i . Par cette fuppofitiori la pro- 

 pose deviendra ud{ = Zdx, ce qui donne d f = 



Zdx ; i = / —il — fef^'Zdx, & enfin y = u\ 



» 



; f e^/" Zdx 



,fXdx 



z. En obfervant le procede de cette methode, on ver- 

 ra aifement qu' elle doit pouvoir s' appliquer encore avec 

 fucces aux equations differentielles qui ont la meme for- 

 me que la precedenre, quoique les differences foient fup- 

 pofees finies . Soit done 1' equation dy ■+■ My = iV, 

 <lont la differentielle dy foit finie, & les autres quantites 

 M & N foient des fonftions d'une autre variable quel- 

 conque x. Suppofons en premier lieu y = «{,. & Ton 

 aura dans ce cas dy = ud^ -hidu-hdudf, & 

 l'equation fe changera en ud^ -+- \d u -f- d ud f -t- 

 Mu{ = N. Qu'on pofe comme ci-deffus les deux ter- 



e roes 



