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conque entier pofitif ou negatif: puifque fin. 1 X *■ = <>, 



& cof. 2 \ t = i , on aura apres avoir fait la fubftitutioji 

 j\i^-i = /.+ i, qui eft la formule que Mr. Euler a 

 trouve par un procede tout a fait different, & qui donne /. ■+- 1 

 tm » ,'«±: iTy-1, + ^^-1 &c..De meme fi 1'on fait <p 

 = i, = jt,= 5t,& g^neralement <p = (i \ — i ) *•, ce 

 qui donne fin. <p = o , cof. <p = — i , on aura (2 X — 1 ) 

 <r. v 7 — 1 = /. — 1 ; on trouveroit avec la meme facilite tous 

 les logaritmes de la quantite imaginaire a -+- b V — i,car ii 

 on decrit un cercle dont le rayon foit V ( a* •+■ b l ) il eft 

 conftant , qu' il y aura toujours un angle <p qui donnera 

 cof tp -+■ fin. <p y/ — 1 = a-h b V — i . Or ft dans la formule 

 f) >/ — i=/.( co/. $> •+■ fin. <p V — 1) on ajoute a <p, 2 X z- , 

 la quantite cof. <p ->r fin. <p V — 1. ne changera point de va- 

 leur , comme il eft evident , & confequemment cette fuppofi- 

 tion n' alterera point la valeur de a -+- b V — 1 ; & Ton aura 

 generalement ( <p -+- 2 Xv) >/ — 1 =/. ( a -4- £ v^ — 1). 



Voila done la Teorie de Mr. Euler apuiee fur la qua- 

 drature de P hyperbole , dont Mr. Bernoulli fe fervoit pour 

 prouver un fentiment abfolument oppofe , fans que fa 

 demonftration ait pour cela rien perdu de fa force ; il eft 

 done neceflaire de comparer enfemble ces deux conclusions, 

 & les procedes qui nous y ont conduit : ce qui fera a 

 prefent plus facile, puifqu'ils font reduits a dependre d'un 

 feul , 6k meme principe . 



1 1. Si Pon fait attention au raifonnement de Mr. Bernoulli 

 on s'apercevra aifement qu' il eft tout fonde fur la continuite" 

 de la b.anche -4Z(pl. 2. fig. 4.) de P hyperbole avec la a /,ces 

 deux branches etant liees a P infini comme il eft evident ; car 



fi Pon fait C<2 = £,C^ = r, QP=u,onaCB = -^ , 



u 1 = — ce qui donne u = _ , d'ou Pon voit que ft 

 2 2^ 



on fait { =s 00 , on trouve u = o, & que fi { d^croit jufqu'a etre 



r x = 



