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Te = TE l'aire qui r^pondra a cette abfciffe fera = PE, 

 done on aura une nouvelle appliquee eh = E H , ce qui 

 donne une branche pour la logaritmique au deffous de 

 l'axe : indepandemment de la preuve qu' en vouloit tirer 



Mr. Bernoulli , de ce que *- = -¥- : raifon que Mr. 



—yy 



Euler a fait voir n'etre pas concluante: & ces deux bran- 

 ches feront liees a 1'infiui, tout comme le font les bran- 

 ches de 1' hyperbole ( * ) . 



La contradiction de ce refultat avec les calculs income- 

 ftables de Mr. Euler , fembloit faire douter de quelque 

 Equivoque dans le raifonnement ; cependant Mr. de la 

 Grange de PAcademie de Berlin qui avoit auffi ete frappe 

 de cette difference m'a bien voulu communiquer les re- 

 flexions qu' il avoit fait autrefois fur ce fujet ; j' exami- 

 nerai ici de nouveau , felon les vues qu'il s' etoit forme , 

 F origine des logaritmes hyperboliques. 



10. Soit done (Pl.i.Fig.3.) l'hyperbole LAP dont le cen- 

 tre eft C , CX , CN les aflimptotes , & CA le demidiametre : 

 foit l'ordonnee quelconque PM =y8i l'abfcifle CM = x le 

 demidiametre C A = r on fait que y = V (x r — r»), 

 & que par confequent y -=\/ — ixv / (r 1 — x* ) . Si k 



prefent 



(*) ivlr. Bernoulli apres avoir confidere l'efpace OTR cornme pofitif prend pour 

 negatif l'efpace XTr, quoiqu'ils paroiflent devoir etre du meme figne , puiC- 

 qu'ils font oppofes au fommet . Pour lever cette difficulte, on peut arriver a la 

 meme conclufion de la maniere fuivante. Qu'on reflechiire que les aires hyperbo- 

 liques, ne font les logaritmes des abfcilTes que parceque fi Ton prend celles-ci 

 en progreflion geometrique , les aires formeront une progreflion aritm^tique : 

 ainh l'aire OTRP, peut etre le logaritme de TR, & OTSQ le log.intme 

 de TS be, mais fi Ton prend TR pour l'unitd affirmative, & qu'on veuille que 

 fon logaritme foit o , il fiudra toujours fouftraire des aires correfpondantes aux 

 abfeiffes dont on veut le logaritme , toute l'aire OTRP, & le logaritme de TS t 

 par exemple , fera alors — PO_RS: en effet TS etant plus petite que 1' unite, 

 fon logaritme doit etre negatii : en continuant le meme raifonnement, on trou- 

 vera que le logaritme de T, ou de o fera — OT I' R , & fi le point S conti- 

 nue a reculer jufqu' en s le logaritme du nombrc nigatif Ts fera toujours TX 

 q s — OTRP ce qui fe rcduit encore a — PQRS, e'eft i dire au logaritme 

 du nombre pofitif TS . 



