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Et la dernidre equation fera telle que fon dernier terme , 

 & le coeficient du fecond feront reels ; puifque ce coefi- 

 cient fera la racine reelle de 1' equation m™ qui eft com- 

 me on I' a vu de degre impair (*), & que le dernier ter- 

 me eft encor , comme on le fait , determinable par ce coe- 

 ficient , & par ceux de 1' equation donnee fans extra&ion 

 de racine : fi done on prend une des racines de cette equation 

 elle aura la forme m -+• n y/ — i , & fera le coeficient du fecond 

 terme de 1' equation qui la precede, dont le dernier terme fe ti- 

 rera de meme par de pures preparations algebriques, de ce 

 coeficient & des donnees de la premiere formule, & les ra- 

 cines de cette nouvelle equation feront done de nouveau de 

 la forme p -\-q V'— i. En pourfuivant la meme operation onar- 

 . rivera finalement a la premiere {*•+- u%-+- M, par laquelle 

 on a divife la propofee , &c par un raifonnement femblable 

 a celui que nous avons fait pour les autres, on verra que 

 uSc M auront la forme r + jv'-i : par confequent fi on 

 refoud cette equation , fes racines auront encore la forme 

 A ■+■ B V — i : d'oii il fuit , que f — A — BV — i fera un 

 divifeur exaft de 1' equation donnee. Or en fubftituant dans 

 celle-ci A-\- B y/ — i au lieu de {, on trouve pour de- 

 terminer B une equation dont tous les termes impairs man- 

 quent , ce qui fait connoitre que cette equation fera ega- 

 lement divifible par j — A-k- B V — i elle le fera done aula" 

 par le produit de ces deux racines, qui eft le trinome reel 

 {'-i^ + ^ + ii'. 



q Quoi- 



rac 



( * ) Comme cette proportion, qu' une equation de degre impair a toujours une 

 cine reelle , eft de-duite communement dans les livres d' algebre de la fuppofi- 

 tion que les racines imaginaires fe trouvent toujours deux a deux dans les equa- 

 tions : pour ne pas paroitre tomber dans une cerde vicieux , je remarquerai ici 

 qu' on peut aifement la demontrer indcpendemmerit de cette fuppofuion : car 

 » on fubftitue pour 1' inconnue dans une equation impairc , prernierement -t- oo , 

 & puis — oo , il eft evident que toute la tormule devicndra dans le pre iner 

 cas = oo , & dans le fecond = — oo d oil il fuit qu'il y a toiijours une quan- 

 tite finie & leelle, qui lubftituee pour 1' inconnue dans 1' equation , la rendra 

 =33 a: e'eft a dire que cette equation aura au moins une racine reelle . 



