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4. L' importance de ce theoreme exigeroit cependant 

 qu'on en eut une demonftration rigoureufe , tir^e de la 

 nature meme des equations : d'autant plus qu'on mettroit 

 en meme tems hors d'atteinte la proportion de Part. 3. Tel 

 eft le plan qu'a fuivi Mr. Euler dans une excellente piece 

 qu' il a donne fur cette matiere dans les Mdmoires de 

 l'Academie Royale de Prufle de l'annee 1749. Voici la route 

 qu'il a tenu. Qu'on rdduife toutes les equations au d^gre 

 a" ce qui eft facile par la multiplication : cela fait il eft 

 evident qu'il fuffiroit de demontrer g^neralement qu'une 

 Equation du degre 2" eft toujours divisible reellement en 

 deux autres du degre z n— '; car par la meme raifon cha- 

 cune de celles-ci fe diviferoit en deux autres du degre 

 i" "" * , & en fuivant ce raifonnement on auroit cette equa- 

 tion divifee en 2" ~ * fafteurs du feoond degre . Pour de- 

 montrer done cette proportion , apres avoir fait evanouir 

 le fecond terme de 1' equation , qui devient par la 



i" D 2" — 2 i" — 3 ou les coeflciens 



x -+- B x -t- C x -+■ &c. 



B, C, D &c. font eh nombre 2" — 1, qu'on fuppofe que 



les deux fa&eurs • cherches , foient 



l""' 2"-'— 1 2"- 1 — 2 «i n-, -J e 



X -+-UX ■+•** -4- fix '-+-&C. 



& 2"-' 2"-'-I 2"- , -2 i«-'-3 L, 



x —ux -+- [xx -+- vx H-6'c. 



oil le nombre des coeflciens indetermines eft encore 2*— 1, 

 La comparaifon du produit de ces deux equations avec 

 la propofee fournit autant d'egalites, de facon que toutes 

 les lettres a. , |3, f/,, v &c. fe pourront determiner par les 

 connues B , C, D &c. melees avec I'indeterminee u, reel- 

 lement fans extraction de racine, ce qui donnera une equa- 

 tion pour u , dont l'expofant fera , comme on le fait par 



les 



