292 SUR LES INTEGRALES DEFIKIES 



Z =— j log.oc-t- ilog. a ■+- 1 j — .+. ~ ; ■+- -— -, •+" etc ' -+ 



|i+(i' ^-t-n* 9-t-n» «'-*-a* 



et diflcrentiant cette fonclion relativement a la constanle a, 

 on aura pour linleyialc cherchee 

 r«> x,\x 1 dZ 



<J (x«— a*) 1 ^""* — 1) 2« db 



1 1 I 1 2 3 .'. 1 

 { -H- -+- -+-ctc.-t- > 



4„i 2 ((iH-n*) 1 Ci-*-"')* (9-t"*) 1 (*«•*«')« \ 



ou il faut pousscr la serie jusqu'a k = 00. 



On pcut donncr a cctte integrate une forme tres-sirnple 

 en exprimant la serie 



1 a 3 A 



elc. 



(i+n'] 1 Ci "•""•)' (cj-t-rt*) 1 (*«-»-«')' 



par les nombres Bernouillens. En eflet designons cette serie 

 par S F {k) on sait ( La-Croix T. 3 p. 1 1 3 ) que 



SF<fi = C +fdkF(k) -+- i F (A) U) 



, dF(k) <PF[k) cPF(k) 



or nous avons ici F (A") = — 



d'ou Ion dt&mtj. dkF{k) ..== 



1 



2 (/,'+«») ' 



eft ~~ '(/tM-«y ' ^ — — J 2 (/.--H^y- ' C • 



de plus nommant B,, B i} B a , etc. les nombres Bernouillens 

 on sait que 



2. J a = B 1} 2. 3. 4 ./ 4 = Z? 3 , 2. 3. 4. 5. 6 ^ 6 = Z? 5 , etc. 

 ainsi de suite ; par ces substitutions on trouve 



