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C , C diant les deux constantes arbitrages introduites par 

 cette integration. 



Pour donner a ce resullat une forme plus explicite nous 



ferons ; 



z = ^(x,k) ; u = p(x,fc): 



alors nous aurons ; 



z' = \f> (x , A-+- 1 ) ; u'= y(x ,k -+-i). 

 Cela pose, il est clair que en changeant k en k—\ , 

 les expressions precedentes de z\ u' donnenl; 



(i) . . . . 2 = x . UaA-t-i) . J x . \f, (x,k—i) dx -+• C J ; 



($') . . . . u = x . ! — . I x . <p (x,k — i) dx + C J ; 



oil les constantes C, C doivent etre determinees de ma- 



Z II 



mere que les fonctions l+k , -~^J > deviennent egales cha- 



cune a l'unite lorsqu'on y fait x=o , puisque les series in- 

 finies X , X' jouissent de cette propriete. 



Apres avoir satisfait a cette condition Ton aura 

 y = Az, •+■ /in. 

 pour integrate complete de l'equation 



d'y h.k-*- 1 



— - — f- >■ . r = o . 



De-la on tire la consequence importante, que l'int^grale 

 complete de cette equation peut etre trouvde sous forme 

 finie , et independamment du signe integral, toutes les fois 

 que la quantity k sera un nombre entier et posilif. En 

 effet; en faisant d'abord A=o, les series designees par X, X' 

 sont sommables , et Ton a ; 



y = A &va..x ■+• B. cos. x , 



