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I. 



Jc coinmencerai par montrer comment on peut oblcnir la formule 

 tit: Lagranoe. Soit 1'equaiion 



(i) u — x-+-J~x=o , 



dans laquclle x est rinconnuc, et fx unc limction quelconque de cette 

 quantite. La valeur de x que l'on tire dc cette equation etant suppose'e 

 devcloppe'e suivant les puissances dc j , pourra tire representee par la 

 serie 



x = u -+- Pj -+- Qy*-i- Ry^ -+- etc . 



dans laquclle P, Q, R, etc. sont des fonclions de u. En substiluanl 

 cette valeur dans liquation (i), et en divisant de part et d'autre par^ - , 

 il viendra 



(2) p^-Qj^-^j'^-etc.— f(u-i-Py-t-Qy*-*-elc.) = o . 



Si Ion developpc/^M-t-Pj-l-Q^-f-etc.) par le tbe'oreme de Taylor, 

 on aura : 



(3) ... P-t-Qy + Bj-i-etc.=fu + (Py-hQ/-*-Bf-i-elc.)f'u 



-+- — ( PjH- <?/'-+- /?/"'-+- etc.)*/" M-*-etc. ; 



o\x f u, f" u etc. sont le 1", le a"" etc. coefficient diirerenliel dc la 

 fonction fu. 



Les valeurs de P, Q, R, etc. etant independanles de y, les coeffi- 

 cients des diverses puissances de cette quantite devront etre respecti- 

 vement egaux entr'eux, dans l'un et l'autre membre de 1' equation pre- 

 ce'denle; par consequent on aura: 



P=fu , Q = P/'u; R = Qfu+^-Pf'u; etc.; 



d'ou Ton conclura facilement 



