,,,| Ml Ntolltl BOD I. A SERIE DE T.AGRANGE 



le cas de/usso, Ion suppose nolle la valcur dc la serie 



Or, obsertons que /a est fact cur common de tous lcs termes de cctte 

 serie ; pour que la conclosion prcccdentc fut vraie, il faudrnit que la 

 serie infinie qui a fu pour facteur, eat elle-meme une valeur finie; si 

 cette valeur ctait. infinie, on aurail alors lc produit d'une quantile nulle 

 par une quantile infinie, qui pooxrait reprcscnler une quantite finie. 

 Un exetuple bieu simple expliquera uaieux cette pense'e. Soit la fi'actiou 



— - ; ; : en develonpanl le de'nominalcur on aura 



X — a ' ' ' 



x — a X — a a (x — a) « 1 (x — a) 



—, -,= — H : — : ; H K —, — --<-etc. 



X — (I X* X' x b 



Dans le cas de x=a , chacun des termes qui composent cette suite est 

 mil : cependaot il est evident que Ton commettrait une grave erreur en 

 concloanl que leur somme est elle-meme nulle, car sa veritable valeur 



est — . En ecrivant lYmialion prcccdentc de la maniere suivante : 



x — a x — a\ a 1 a 1 ' a h 



— := r-JH-— ■+-—,-+-— -f- etc. 



x — a xl x x' x 



lorsqu'on fait x = u le second membre devient 



.|=oXoo 



Ce rc'sullai lie:.! a la presence, au nunie'rateur et au denominateur de 



X ■■" (l 



la fraction — ; s , tin factcur (x — a) qui devient nul pour xz=a, et 



X — a . , 



donnc au resultal une forme indetcrminee. 



Si Ton observe avec attention lc procedc qui conduit a la serie tie 



Lagrange , on vena qu'il suppose esscntiellement que la valcur de x, 



deduite dc 1'eqnation a — x-+-jJ'x = o , puisse se dc'velopper selon lcs 



puissances entities et positives de y. Or, quand u est racine de 1'eqnation 



pmposec, cette supposition ne peut avoir lieu. En cflct , en faisant 



fx = (u— -x)fx , ou fx est une fonction enliere de x, la propose* 



devient (u — r)(i+jjx)=:o. Par hypothese, (px peut elre reprcsente 



