PAR L. t, MENABREA. Ifi'i 



par l«' polynoine A 'a.-™ -f- B x m ~' -t-il/zr-t-A' qui ne contient que 



des puissances entieres et positives ile x ; en supposant a; esprime par 

 la serie 



x = u-4-Py-*-Qj-\-By — etc. , 



(i siibslituaul celle valeur dans le facleur (i-t-jrfj?) qu'ou eaalera a 

 zero , on aura l'equalion : 



■ +7(« + / , /+Q/ y+jB{u-*-Pj-*-Qf )— ' 



•+jM\U-t-Pjr+.Qj> )+jN=o . 



Lcs coefficients A, 13, C, etc.; P, Q, R, etc. etant indepemlants ile r, 

 les coefliciens des diverses puissances dc y devraient , dans l'equation 

 prccedentc, etre partiellement nuls. INlais on ne peut satisfaire a une 

 telle condition, car le terme independant dej" clant 1 unite, on ne pent 

 i-tablir I equation \ =o ; done, il est impossible d'exprimer analytique- 

 ii:eiit, au moyen d'une serie ordormee suivant les pnissances entieres 

 et positives de j, aucune des racines du facleur \-\-jcx egale a zero. 

 Quaud au facleur (u — x) dc l'equalion propose'e il est par sa nature 

 im'-ine iiidependant dc jr. Ainsi,dans le cas dey*M = o,la serie qui ev- 

 prime la valeur de x se presente sous une forme indetcrminee. Cepen- 

 ilant, coinrne, ainsi que nous le demontrcrons plus loin , la racine repre- 

 sentee par la serie 



u -¥-fu H {fu) * -t-etc 



est numeriquemcnl la plus petite racine de {'equation, u — x-H/Lr = o; 

 il faudra que cettc meme serie serve cgalcmcul pour le cas ou u est 

 lui-meme la plus petite racine de la proposee. Alois clle devra se re- 

 duire a son premier termc, tandisque la sommc des autres sera effec- 

 livement nulle. Ce qui veut dire que, dans cettc circonstance , la serie 

 Kra eonvergente, et qu'elle cessera de 1' litre lorsque u ne sera pas lui- 

 meme la plus petite racine. Cette observation sert a expliqucr la forme 

 que prend le developpemeiit qui representc la valeur de x. 



Serie II. Tom. VIII. 



