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 2'"'% S/"", 4-^"" <le t-. — '■ — '-. — — , par exemple , esl un lerme du 



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2.°""" onlrc ; .ninsi tics aulrcs. 



Mainleiiant, supposons que (ra etanl Ircs-grand et les puissances siic- 



cessivcs dc u ne se moittraiit , par consutjuenl , que parnii Ics ternies 



(Vun orilre tri's-clcvc) les Icrines successifs dcs divers ordres formcnt, 



independamtnent de Icurs signes rcsjieclifs , uiic suite convergcnte telle 



que si Ton designe par U^ le plus grand lerme numerique de I'ordre h, 



I'expression y U/, se rapproche d'unc lirnitc iiuineriquement inferieure 



a runite a mesure que h augmenle (*); il est clair que la somme arilh- 



iiiclique des termes qui contiennent des puissances positives de a et 



qu'on suppose apparteuir a des ordres trcs-eleves , sera d'autant plus 



negligealjlc, par rapport a la somme des precedents, que n sera plus 



grand. Lorsque cette condition a lieu, on est done assure que la serie (6), 



prise dans son ensemble, represente la puissance —ii de la plus petite 



racine dc I'equation 



u—x-^tfx=o ; 



car alors la somme Zii^(M) sera negligeable par rapport a 



F0.-*)-t-Z9,(i) , 



et par consequent la serie de Lagrange exprimera la plus petite racine 

 de la proposee. Maintenant si Ton examine le Memoire d'EuLER on verra 

 que la serie s'y trouve decomposee suivant ses termes des diflerents 

 ordres; et lorsque (page 6i) il dit : inde patet , quod sumto exponente 

 n infinilo , quo casu formae nostrae pars Integra ab wiiversa non est 



censenda discrepare , on peut bien en conclure qu'il consi- 



derait la serie comme convergente par rapport aux termes partiels des 

 ditfercnts ordres lorsque le theoreme avait lieu. 



Si d'un autre cote Ton se reporte au premier Memoire de La- 

 grange (**), on reconnaitra qu'il ne deteimine point la convergence 

 de la serie par rapport a ses termes concrets, mais quil la decompose 

 suivant ses termes partiels de dilTereiits ordres , et c'est par rapport a 

 ceux-ci qu'il donne sa regie de convergence qui est naturellement 



(*) Voyei Ic Cours d'analyse do M. Caucdy , l.crc parlie , chap. VI , J 3 , l.cr Ihcoremc 

 (**) Voyez Mem. de I'Acadcmie de Bcrlio pour I'aDoco 17G8. 



