Il.'l OBSERVATIONS il'R I. A SERIF- DE I-AfiRANCE 



soiit bien ditFerenlcs; la cleiniere est mcme plus que sufllsaiitc pour 

 line le iheoreme ait lieu coinuie on le verra par la suite. En I'appli- 

 quaiil ainsi, suivant son veritable sens, il ne me sera pas diflicile d'en 

 I'onfirmer rexacliludc par I'exeniplc meme que JNI.' Caucuy rapportc dans 

 sa note avee une intention enliercmcnt opposee. 



Quand au theorcme qui, d'apres le lexte du x'apport devrait elre 

 substilue a celui de Lagrange, il est essentiel d'avertir que son enoncc 

 peut induire en erreur, comme jc le montrerai. 



A I'appui de mon opinion sur celte raaliere je citerai un beau Me- 

 inoire d'EuLER qui se trouve dans le Tome XV.'^"" des iVoct Commen- 

 larii Academiae Intpcrialis petropolitanae pro anno mdcclxx. II est 

 intitule : Obsevvationes circa radices aeqiuitionum. II parait que La- 

 grange ne connaissail point cet ecrit lorsqu'il publia en 1798 la pre- 

 miere e'dition de La resolution des equations numeriques , et il est 

 probable que la decouverte du llieoreuic, dont il s'agit , appartient a 

 EcLER. Comme qu'il en soit , il est bien rcmarquable de voii- deux 

 esprits aiissi eminents arriver, chacun de son cote, a cette meme ve- 

 rile par des voies bien dilTerentes ; et celte coincidence de re'sultats 

 obtenus de nianieres si divcrses , suflit pour montrer combien on doit 

 clre cii-conspect dans cette question qui est, par elle-meme , d'une 

 certaine importance. Du reste, I'analyse des deux auleurs differe en ce 

 que les racines de I'cquation consideree par Euler sont reciproqucs de 

 celles de Tequaiion de Lagrange. Mais si Ton observe la serie obtcnue 

 par Eui.ER, on voit qu'elle n'est autre chose que cellc de Lagrange, 

 liont chaque terme est decompose selon ses termes partiels comme dans 

 I'equation (c). Ainsi Ton ne peut douter qu'EuLER entcndit la conver- 

 gence de la serie a la manicre de Lagrange. 



Cependant, comme dans toute celte discussion I'ecrit que je viens 

 de citer parait avoir ete entierement oublie , quoiqu'il soit le plus 

 complet public jusqu'a ce jour sur ce sujet , j'ai cm convenable de 

 lui consacrer une note dans laquelle j'en donnerai un resume en meme 

 temps que j'y montrerai ridenlite des resultals obtenus par Lacrangk 

 et par Ecler. Ce dernier prend pour base de ses considerations I'cxprcs- 

 sion de la somme des puissances des racines de I'equation alyebriqnc 

 proposee. L'on sail que, par le moyen des fonclions symetri([ucs, on 

 arrive tres-aisciuent a obtcnir une suite d'equalions du premier degre 

 enlre les diverses sommes des diirdrentes puissances des I'acincs, ct que, 



